Examkin

Question

Difficulty: Very hardÖklid Bağıntıları
Bir ABCABC dik üçgeninde [AB]⊥[AC][AB] \perp [AC] ve [AH]⊥[BC][AH] \perp [BC]'dir. Üçgenin dik kenar uzunlukları olan ∣AB∣=c|AB| = c ve ∣AC∣=b|AC| = b birer pozitif tam sayıdır. Bu üçgende dik kenar uzunlukları ile hipotenüse ait yükseklik arasında
1b2+1c2=1144\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{144}
bağıntısı bulunduğuna göre, hipotenüsün uzunluğu olan ∣BC∣|BC| kaç cm\text{cm}'dir?
  1. A
    13
  2. B
    15
  3. C
    20
  4. 25Answer
  5. E
    30

Answer

Hipotenüsün uzunluğu 25 cm'dir.
Doğru seçenekte belirtilen değer, dik kenar uzunlukları pozitif tam sayı olan ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan dik üçgenin hipotenüs uzunluğudur. Öklid bağıntısından elde edilen b2c2−144b2−144c2=0b^2 c^2 - 144b^2 - 144c^2 = 0 denklemini sağlayan tam kare değerler araştırıldığında, dik kenarların 15 cm15\text{ cm} ve 20 cm20\text{ cm} olduğu benzersiz şekilde belirlenir. Buradan Pisagor bağıntısı ile hipotenüs 25 cm25\text{ cm} olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Öklid bağıntılarından biri olan 1h2=1b2+1c2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} formülünü kullanarak [BC][BC] hipotenüsüne ait yüksekliği (h=∣AH∣h = |AH|) bulalım.
h=12 cmh = 12\text{ cm}
Verilen denklemde 1b2+1c2=1144\frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} = \frac{1}{144} olduğuna göre, 1h2=1144  ⟹  h2=144  ⟹  h=12\frac{1}{h^2} = \frac{1}{144} \implies h^2 = 144 \implies h = 12 bulunur.
2
Dik üçgende alan veya Öklid bağıntısı gereği, dik kenarların çarpımının hipotenüs ile yüksekliğin çarpımına eşit olduğunu yazalım (b⋅c=a⋅hb \cdot c = a \cdot h, burada a=∣BC∣a = |BC|'dir).
b⋅c=12ab \cdot c = 12a
h=12h = 12 değerini yerine koyarak dik kenarlar ile hipotenüs arasındaki ilişkiyi kurarız.
3
Pisagor teoremine göre a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 eşitliğini kullanalım ve ikinci adımda elde ettiğimiz ifadenin karesini alarak yerine yazalım.
b2c2=144(b2+c2)b^2 c^2 = 144(b^2 + c^2)
(b⋅c)2=144a2(b \cdot c)^2 = 144 a^2 eşitliğinde a2a^2 yerine b2+c2b^2 + c^2 yazarız.
4
Elde edilen b2c2−144b2−144c2=0b^2 c^2 - 144b^2 - 144c^2 = 0 denklemini çarpanlarına ayıralım.
(b2−144)(c2−144)=20736(b^2 - 144)(c^2 - 144) = 20736
Denklemin her iki tarafına 1442=20736144^2 = 20736 ekleyerek ifadeyi (b2−144)(c2−144)(b^2 - 144)(c^2 - 144) şeklinde gruplandırabiliriz.
5
bb ve cc pozitif tam sayılar olduğundan, b2−144b^2 - 144 ve c2−144c^2 - 144 çarpanlarının 2073620736'nın tam kare veren bölenleri olması şartını inceleyelim.
{b,c}={15,20}\{b, c\} = \{15, 20\}
b2b^2 ve c2c^2 değerlerinin tam kare olmasını sağlayan tek pozitif tam sayı çifti 152−144=8115^2 - 144 = 81 ve 202−144=25620^2 - 144 = 256 olup 81⋅256=2073681 \cdot 256 = 20736 eşitliğini doğrular.
6
Bulunan dik kenar uzunlukları ile hipotenüs uzunluğunu hesaplayalım.
a=∣BC∣=25 cma = |BC| = 25\text{ cm}
Pisagor bağıntısından a=152+202=225+400=625=25a = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 elde edilir.

Key Concept

Öklid bağıntısı yardımıyla yükseklik ve dik kenarlar arasındaki 1h2=1b2+1c2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} ilişkisinin kurulması ve bunun tam sayı çözümlere (Diophant denklemi) uygulanması.

Hints

1
Öklid bağıntılarından 1h2=1b2+1c2\frac{1}{h^2} = \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} formülünü kullanarak hipotenüse ait hh yüksekliğini bulunuz.
2
Alanın korunumu ilkesinden b⋅c=a⋅hb \cdot c = a \cdot h olduğunu ve Pisagor teoreminden a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2 olduğunu kullanarak b2c2=144(b2+c2)b^2 c^2 = 144(b^2 + c^2) denklemini elde ediniz.
3
Elde ettiğiniz denklemi (b2−144)(c2−144)=20736(b^2 - 144)(c^2 - 144) = 20736 şeklinde çarpanlarına ayırın ve b2b^2 ile c2c^2 ifadelerinin tam kare olmasını sağlayacak bölenleri belirleyin.

Practice More

Benzer şekilde yüksekliği h=24 cmh = 24\text{ cm} olan ve dik kenarları tam sayı olan bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğunu bulmaya çalışın.

Alternative Method

b⋅c=12ab \cdot c = 12a eşitliğinde aa hipotenüsünün tam sayı olması gerektiği düşünülebilir. 12a12a ifadesinin tam kare çarpanlarına ayrılmasıyla b=15b = 15 ve c=20c = 20 için a=25a = 25 tam sayı çözümü doğrudan deneme-yanılma yoluyla da doğrulanabilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Öklid Bağıntıları

More questions from this topic