Examkin

Question

Difficulty: MediumKatı Cisimlerin Açınımı ve En Kısa Yol

Taban yarıçapı 5π cm\frac{5}{\pi}\text{ cm} ve yüksekli��i 12 cm12\text{ cm} olan dik dairesel silindir biçimindeki bir kutunun alt taban çemberi üzerindeki bir AA noktası ile üst taban çemberi üzerinde, AA noktasın��n dikey izdüşümünün çapraz karşısında (en uzak noktasında) bulunan bir BB noktası işaretlenmiştir. Kutunun dış yan yüzeyi üzerinden, AA noktasından BB noktasına giden en kısa yol kaç cm\text{cm}'dir?

  1. A
    17
  2. B
    12,5
  3. C
    2612\sqrt{61}
  4. 13Answer
  5. E
    119\sqrt{119}

Answer

13
En kısa yol, silindirin yan yüzeyinin açınımıyla oluşan dikdörtgende 5 cm yatay ve 12 cm dikey kenarlara sahip dik üçgenin hipotenüsüdür. 5-12-13 özel üçgeninden doğru yanıt 13 cm olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

1
Silindirin yan yüzeyinin açınımı yapılarak düzlemsel bir dikdörtgen elde edilir.
Taban çevresi 2πr=2π(5π)=10 cm2 \pi r = 2 \pi \left(\frac{5}{\pi}\right) = 10\text{ cm} ve yüksekliği 12 cm12\text{ cm} olan bir dikdörtgen oluşur.
Yüzey üzerindeki en kısa yolu bulmak amacıyla silindirin dış yüzeyi iki boyutlu bir düzleme açılır.
2
Başlangıç noktası A ile bitiş noktası B'nin açınım üzerindeki konumları ve aralarındaki yatay/dikey mesafeler belirlenir.
B noktası, A'nın dikey izdüşümünün çapraz karşısında olduğundan yatayda yarım çevre kadar yol alınır. Yatay mesafe 102=5 cm\frac{10}{2} = 5\text{ cm}, dikey mesafe ise silindir yüksekliği olan 12 cm12\text{ cm} olur.
Açınım düzleminde en kısa yolun oluşturduğu dik üçgenin kenar uzunluklarını belirlemek gerekir.
3
Elde edilen dik üçgende Pisagor bağıntısı uygulanarak en kısa doğrusal mesafe hesaplanır.
x2=52+122  ⟹  x2=25+144=169  ⟹  x=13 cmx^2 = 5^2 + 12^2 \implies x^2 = 25 + 144 = 169 \implies x = 13\text{ cm} bulunur.
Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan dik üçgende en kısa yol hipotenüs uzunluğuna eşittir (5-12-13 özel dik üçgeni).

Key Concept

Silindir yüzeyi üzerindeki en kısa yol sorularında, silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. İki nokta arasındaki en kısa yol, bu açınım üzerindeki en kısa doğrusal mesafedir (dik üçgenin hipotenüsüdür).

Hints

1
Katı cisimler üzerindeki en kısa yol sorularında öncelikle cismin yüzeyini düzlemsel olarak açmalısınız.
2
Silindirin yan yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen elde edilir. Bu dikdörtgenin genişliği taban çevresine (2πr2\pi r), yüksekliği ise silindirin yüksekliğine eşittir.
3
A noktası ile B noktası arasındaki yatay mesafe, silindir yüzeyinin yarısı kadar dolanıldığı için taban çevresinin yarısı (5 cm5\text{ cm}) olacaktır. Dikey mesafe ise 12 cm12\text{ cm}'dir. Oluşan dik üçgende Pisagor uygulayabilirsiniz.

Practice More

Benzer şekilde silindir yüzeyi etrafında 1,5 tur veya 2 tam tur atılarak ulaşılan en kısa yol sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Özel üçgenler bilgisi kullanılarak: Dik kenarları 5 cm ve 12 cm olan bir dik üçgende hipotenüs uzunluğu doğrudan 5-12-13 özel dik üçgeni kuralıyla 13 cm olarak bulunabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Katı Cisimlerin Açınımı ve En Kısa Yol

More questions from this topic