Examkin

Question

Difficulty: MediumÜçgende Açı-Kenar Bağıntıları

Bir ABCABC üçgeninde açılar arasında m(A^)>m(B^)>m(C^)m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) sıralaması bulunmaktadır.

∣AC∣=8 cm|AC| = 8\text{ cm} ve ∣BC∣=11 cm|BC| = 11\text{ cm} olduğuna göre, ABAB kenarının uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaç santimetredir?

  1. A
    18
  2. B
    20
  3. 22Answer
  4. D
    25
  5. E
    28

Answer

AB kenarının uzunluğunun alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı 22 santimetredir.
Açı-kenar bağıntısına göre büyük açının karşısında büyük kenar bulunur. Verilen açı sıralamasına göre karşılarındaki kenarlar arasında da |BC| > |AC| > |AB| ilişkisi olmalıdır. Buradan 11 > 8 > x elde edilir, yani x < 8'dir. Diğer taraftan üçgen eşitsizliğine göre x değeri diğer iki kenarın farkından büyük olmalıdır: x > 11 - 8 yani x > 3. Bu iki koşul birleştirildiğinde 3 < x < 8 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olup toplamları 22'dir.

Step-by-Step Solution

1
Üçgen eşitsizliği kuralını uygulayarak başlangıç sınırlarını belirleyin.
∣11−8∣<∣AB∣<11+8  ⟹  3<x<19|11 - 8| < |AB| < 11 + 8 \implies 3 < x < 19
Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunluklarının farkının mutlak değerinden büyük, toplamından küçük olmalıdır.
2
Açı-kenar bağıntılarını kullanarak ek sınırlamaları belirleyin.
m(A^)>m(B^)>m(C^)  ⟹  ∣BC∣>∣AC∣>∣AB∣  ⟹  11>8>x  ⟹  x<8m(\widehat{A}) > m(\widehat{B}) > m(\widehat{C}) \implies |BC| > |AC| > |AB| \implies 11 > 8 > x \implies x < 8
Bir üçgende büyük açının karşısında büyük kenar, küçük açının karşısında küçük kenar bulunur.
3
Elde edilen iki eşitsizliği birleştirerek x için ortak aralığı bulun.
3<x<83 < x < 8
Hem üçgen eşitsizliğini hem de açı-kenar bağıntısından gelen sınırlamayı aynı anda sağlamak gerekir.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini belirleyip toplayın.
x∈{4,5,6,7}  ⟹  4+5+6+7=22x \in \{4, 5, 6, 7\} \implies 4 + 5 + 6 + 7 = 22
Soru bizden AB kenarının alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını istemektedir.

Key Concept

Üçgende bir kenar uzunluğu diğer iki kenarın toplamı ile farkı arasındadır. Ayrıca, büyük açının karşısında büyük kenar bulunur.
Rate this question

Topics

Üçgende Açı-Kenar Bağıntıları

More questions from this topic