Bir düzgün n-genin içine yazılan bir x tam sayısı için [x]_n sembolüyle gösterilen bir işl… — ALES

Bir düzgün $n$ -genin içine yazılan bir $x$ tam sayısı için $[x]_n$ sembolüyle gösterilen bir işlem tanımlanıyor. Bu işlem,
- $x$ bir çift sayı ise: $[x]_n = n \cdot x - (n-1)$
- $x$ bir tek sayı ise: $[x]_n = (n-1) \cdot x + n$
olarak belirlenmiştir.

Örnekler:
- Üçgenin içindeki $4$ sayısı: $[4]_3 = 3 \cdot 4 - (3-1) = 10$
- Karenin içindeki $5$ sayısı: $[5]_4 = (4-1) \cdot 5 + 4 = 19$

Buna göre, bir üçgenin içinde bir kare ve bu karenin içinde $A$ sayısı bulunacak şekilde iç içe yerleştirilmiş şeklin değeri ile bir düzgün beşgenin içine yazılmış $A$ sayısının değerinin toplamı $46$ olduğuna göre, $A$ pozitif tam sayısı kaçtır?

A
2
3Answer
C
4
D
5
E
6

Answer

Değeri 3 olan seçenektir.

Doğru cevap olan 3 tek sayısı için işlemler sırasıyla uygulandığında: Karenin içindeki 3 sayısı için

[3]_4 = (4-1) \cdot 3 + 4 = 13

elde edilir. 13 tek sayı olduğu için üçgenin içindeki 13 sayısı için

[13]_3 = (3-1) \cdot 13 + 3 = 29

bulunur. Beşgenin içindeki 3 sayısı için ise

[3]_5 = (5-1) \cdot 3 + 5 = 17

elde edilir. Bu iki değer toplandığında

29 + 17 = 46

eşitliği sağlanır.

Step-by-Step Solution

A'nın teklik-çiftlik durumuna göre karenin içindeki işlem olan

[A]_4

ifadesinin alabileceği değerleri belirleme.

Eğer

A

çift ise

[A]_4 = 4A - 3

olur. Eğer

A

tek ise

[A]_4 = 3A + 4

olur.

Karenin kenar sayısı

n=4

olduğundan, tanımlanan kurallara göre

A

'nın paritesine uygun formül seçilir.

[A]_4

ifadesinin sonucunun teklik-çiftlik durumunu analiz etme.

A

çift olduğunda

4A - 3

tektir.

A

tek olduğunda

3A + 4

tektir. Dolayısıyla her iki durumda da

[A]_4

kesinlikle bir tek sayıdır.

Bir sonraki adımda dıştaki üçgen (

n=3

) işlemini uygulayabilmek için içerideki değerin tek mi çift mi olduğunu bilmemiz gerekir.

[ [A]_4 ]_3

ifadesini tek sayı kuralına göre açma.

[ [A]_4 ]_3 = (3-1) \cdot [A]_4 + 3 = 2 \cdot [A]_4 + 3

olur.

[A]_4

sonucu her durumda tek sayı çıktığı için, üçgen (

n=3

) sembolünün kuralındaki tek sayı formülü uygulanır.

Denklemi

A

'nın teklik-çiftlik durumlarına göre iki ayrı vaka olarak inceleme ve çözme.

Durum 1:

A

çift olsun.

[A]_4 = 4A-3 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(4A-3)+3 = 8A-3

olur. Beşgen (

n=5

) için çift sayı kuralıyla

[A]_5 = 5A-4

olur. Toplam:

(8A-3) + (5A-4) = 13A - 7 = 46 \implies 13A = 53

(tam sayı çözümü yoktur). Durum 2:

A

tek olsun.

[A]_4 = 3A+4 \implies [ [A]_4 ]_3 = 2(3A+4)+3 = 6A+11

olur. Beşgen (

n=5

) için tek sayı kuralıyla

[A]_5 = 4A+5

olur. Toplam:

(6A+11) + (4A+5) = 10A + 16 = 46 \implies 10A = 30 \implies A = 3

olur.

3

tek sayı olduğundan bu çözüm geçerlidir.

Her iki durumu da analiz ederek matematiksel olarak tutarlı ve tam sayı olan tek çözüme ulaşmak gerekir.

Key Concept

Şekil ile Tanımlanmış Operatörler ve Parite Koşullu İşlemler

Hints

İç içe geçmiş geometrik şekillerde işlemleri yapmaya en içteki şekilden (kareden) başlayın.

A

sayısının tek mi çift mi olduğunu bilmediğiniz için her iki olasılığı da ayrı ayrı değerlendirmeniz gerekir. Ancak en içteki işlemin sonucu (

[A]_4

) her iki durumda da tek sayı çıkacaktır.

A

sayısının tek olduğunu varsayarak kare (

n=4

) kuralını uygulayın. Çıkan tek sayı sonucuna üçgen (

n=3

) kuralını ve beşgen (

n=5

) için tek olan

A

'ya tek kuralını uygulayıp denklemi

10A + 16 = 46

olarak kurun.

Practice More

Benzer şekilde üç nested şekilden oluşan ve parite yerine 3 ile bölümünden kalan kurallarına dayanan operatör sorularını çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Denklemi teorik olarak çözmek yerine seçeneklerdeki değerleri (2, 3, 4, 5, 6) doğrudan denklemde yerine koyup parite kurallarına dikkat ederek test edebilirsiniz.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints

Practice More

Alternative Method

Topics

More questions from this topic