Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇokgenler ve Genel Dörtgenler

Bir dışbükey çokgenin iç açılarının ölçüleri bir aritmetik dizi oluşturmaktadır. Bu çokgenin en küçük iç açısının ölçüsü 120∘120^\circ ve ardışık iç açılar arasındaki fark 5∘5^\circ olduğuna göre, bu çokgenin kenar sayısı kaçtır?

  1. A
    8
  2. B
    16
  3. 9Answer
  4. D
    12
  5. E
    15

Answer

Çokgenin kenar sayısı 9'dur.
Doğru olan kenar sayısı 9, aritmetik dizi toplamı ile çokgenin iç açılar toplamını eşitleyen denklem çözüldüğünde elde edilen iki kökten biridir. Diğer kök olan 16 değeri, çokgenin en büyük iç açısının 195∘195^\circ olmasına yol açtığı için dışbükeylik kuralını ihlal eder ve elenir. 9 kenarlı çokgenin en büyük iç açısı ise 160∘160^\circ olup dışbükeylik kuralını tam olarak sağlar.

Step-by-Step Solution

1
Kenar sayısı nn olan bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamını veren genel formülü yazalım.
İç açılar toplamı =(n−2)⋅180∘= (n - 2) \cdot 180^\circ şeklindedir.
Çokgenin geometrik özelliklerinden kaynaklanan iç açılar toplamını belirlemek için.
2
En küçük terimi 120∘120^\circ ve ortak farkı 5∘5^\circ olan nn terimli bir aritmetik dizinin toplam formülünü oluşturalım.
Sn=n2⋅[2a1+(n−1)d]=n2⋅[2⋅120+(n−1)⋅5]=n2⋅(5n+235)S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n - 1)d] = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 120 + (n - 1) \cdot 5] = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235) olur.
Çokgenin iç açılarının aritmetik dizi kuralına göre toplam değerini nn cinsinden ifade etmek için.
3
Bu iki iç açılar toplamı ifadesini birbirine eşitleyerek nn değerini bulmak için ikinci dereceden bir denklem elde edelim.
(n−2)⋅180=n2⋅(5n+235)  ⟹  360n−720=5n2+235n  ⟹  5n2−125n+720=0(n - 2) \cdot 180 = \frac{n}{2} \cdot (5n + 235) \implies 360n - 720 = 5n^2 + 235n \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 elde edilir. Denklemin her iki tarafı da 55 ile bölündüğünde n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemi bulunur.
Her iki toplam ifadesi de çokgenin aynı iç açılar toplamını temsil ettiğinden bunları eşitleriz.
4
Elde edilen n2−25n+144=0n^2 - 25n + 144 = 0 denklemini çarpanlarına ayırarak kökleri bulalım.
(n−9)(n−16)=0  ⟹  n=9(n - 9)(n - 16) = 0 \implies n = 9 veya n=16n = 16 bulunur.
Kenar sayısı olabilecek olası kök adaylarını tespit etmek için.
5
Köklerin dışbükey (konveks) çokgen kuralına (an<180∘a_n < 180^\circ) uyup uymadığını kontrol edelim.
n=16n = 16 için en büyük iç açı a16=120+(16−1)⋅5=195∘a_{16} = 120 + (16 - 1) \cdot 5 = 195^\circ olur. 195∘>180∘195^\circ > 180^\circ olduğundan bu durum dışbükey çokgen tanımına aykırıdır ve elenir. n=9n = 9 için en büyük iç açı a9=120+(9−1)⋅5=160∘<180∘a_9 = 120 + (9 - 1) \cdot 5 = 160^\circ < 180^\circ olup dışbükeylik şartını sağlar. Bu yüzden kenar sayısı 9 olmalıdır.
Dışbükey bir çokgenin hiçbir iç açısının 180∘180^\circ sınırını aşamayacağı geometrik gerçeğini kullanarak geçersiz kökü elemektır.

Key Concept

Dışbükey çokgenlerin iç açılarının geometrik sınırlamaları ve aritmetik dizi uygulamaları

Hints

1
Çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)⋅180∘(n - 2) \cdot 180^\circ formülü ile hesaplanır. Aynı toplamı aritmetik dizi toplam formülü kullanarak da yazın.
2
Elde ettiğiniz iki toplam ifadesini birbirine eşitleyerek nn değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem elde edin ve bu denklemin köklerini bulun.
3
Bulduğunuz köklerin dışbükey çokgen tanımına uyup uymadığını denetleyin. Dışbükey çokgenlerde hiçbir iç açı 180∘180^\circ veya daha fazla olamaz.

Practice More

İç açılarının ölçüleri aritmetik dizi oluşturan farklı dışbükey çokgenler için ortak fark ve en küçük açının sınır değerlerini belirlemeye yönelik sorular çözebilirsiniz.

Alternative Method

Soru dış açılar üzerinden de çözülebilir. İç açılar en küçükten büyüğe doğru 120∘,125∘,…120^\circ, 125^\circ, \dots şeklinde 5∘5^\circ artarken, dış açılar en büyükten küçüğe doğru 60∘,55∘,…60^\circ, 55^\circ, \dots şeklinde 5∘5^\circ azalarak gider. Herhangi bir dışbükey çokgenin dış açılar toplamı her zaman 360∘360^\circ olduğundan, nn terimli bu dış açılar toplamı: n2⋅[2⋅60+(n−1)⋅(−5)]=360  ⟹  5n2−125n+720=0\frac{n}{2} \cdot [2 \cdot 60 + (n - 1) \cdot (-5)] = 360 \implies 5n^2 - 125n + 720 = 0 denklemini verir. Buradan n=9n = 9 veya n=16n = 16 bulunur. n=16n = 16 için en küçük dış açı negatif (60−15⋅5=−15∘60 - 15 \cdot 5 = -15^\circ) olamayacağından bu kök elenir ve cevap 9 olarak kalır.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

Çokgenler ve Genel Dörtgenler

More questions from this topic