Examkin

Question

Difficulty: MediumBasit Eşitsizlikler
Sıfırdan farklı aa, bb ve cc gerçel sayıları için,
a⋅b<0a \cdot b < 0
b−a<0b - a < 0
a⋅c>0a \cdot c > 0
c−a>0c - a > 0
olduğuna göre; aa, bb ve cc say��larının doğru sıralaması aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    a<c<ba < c < b
  2. B
    b<c<ab < c < a
  3. b<a<cb < a < cAnswer
  4. D
    c<a<bc < a < b
  5. E
    c<b<ac < b < a

Answer

Doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.
Verilen eşitsizliklerden a⋅b<0a \cdot b < 0 ifadesi aa ile bb'nin zıt işaretli olduğunu gösterir. b−a<0b - a < 0 ifadesi ise b<ab < a demektir. Zıt işaretli iki sayıdan bb daha küçük olduğu için bb negatif, aa ise pozitif olmalıdır (b<0<ab < 0 < a). Diğer yandan, a⋅c>0a \cdot c > 0 ifadesi aa ile cc'nin aynı işaretli olduğunu gösterir. aa pozitif olduğu için cc de pozitif olmalıdır. Son olarak, c−a>0c - a > 0 ifadesinden c>ac > a elde edilir. Bu durumda pozitif olan cc sayısı, pozitif olan aa sayısından büyüktür. Negatif olan bb ise en küçük sayıdır. Sonuç olarak doğru sıralama b<a<cb < a < c şeklindedir.

Step-by-Step Solution

1
a⋅b<0a \cdot b < 0 ve b−a<0b - a < 0 eşitsizliklerini inceleyerek aa ve bb sayılarının işaretlerini belirleyelim.
aa pozitif (a>0a > 0) ve bb negatif (b<0b < 0) olmalıdır.
a⋅b<0a \cdot b < 0 olduğundan aa ve bb zıt işaretlidir. b−a<0  ⟹  b<ab - a < 0 \implies b < a olduğundan, küçük olan sayı (bb) negatif, büyük olan sayı (aa) pozitif olmak zorundadır.
2
a⋅c>0a \cdot c > 0 eşitsizliğini kullanarak cc sayısının işaretini belirleyelim.
cc pozitif (c>0c > 0) olmalıdır.
a>0a > 0 olarak bulunmuştu. Çarpımları pozitif (a⋅c>0a \cdot c > 0) olduğuna göre cc de aa ile aynı işaretli, yani pozitif olmalıdır.
3
c−a>0c - a > 0 eşitsizliğini kullanarak aa ve cc sayılarını kendi aralarında sıralayalım ve tüm sayıları birleştirelim.
b<a<cb < a < c sıralaması elde edilir.
c−a>0  ⟹  c>ac - a > 0 \implies c > a olur. b<0b < 0, a>0a > 0 ve c>0c > 0 olduğunu biliyoruz. aa ve cc pozitif sayılarından cc daha büyük olduğundan sıralama b<a<cb < a < c şeklinde elde edilir.

Key Concept

Basit eşitsizliklerde işaret belirleme ve taraf tarafa işlemlerle sıralama yapılması.

Hints

1
Çarpımları negatif olan iki sayı zıt işaretlidir, çarpımları pozitif olan iki sayı ise aynı işaretlidir.
2
b−a<0b - a < 0 eşitsizliğini b<ab < a olarak yazıp zıt işaretli olma durumuyla birleştirerek aa ve bb'nin işaretlerini bulabilirsiniz.
3
aa'nın işaretini bulduktan sonra a⋅c>0a \cdot c > 0 ve c−a>0c - a > 0 eşitsizliklerini kullanarak cc'nin işaretini ve aa ile ilişkisini belirleyin.

Practice More

Benzer mantıkla, üslü ifadeler içeren eşitsizliklerde işaret ve sıralama belirleme sorularını inceleyebilirsiniz.

Alternative Method

Sayı değerleri vererek de sıralamayı doğrulayabilirsiniz. Örneğin, eşitsizlikleri sağlayacak şekilde b=−1b = -1, a=1a = 1 ve c=2c = 2 değerlerini seçtiğimizde tüm koşulların sağlandığını görebiliriz.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Basit Eşitsizlikler