Examkin

Question

Difficulty: MediumSayı Basamakları ve Çözümleme
Üç basamaklı ABCABC ve CBACBA doğal sayıları için
ABC−CBA=495ABC - CBA = 495
olduğuna göre, rakamları birbirinden farklı kaç farklı ABCABC sayısı yazılabilir?
  1. A
    28
  2. B
    30
  3. 32Answer
  4. D
    36
  5. E
    40

Answer

Rakamları birbirinden farklı 32 farklı ABC sayısı yazılabilir.
Verilen çıkarma işlemi çözümlendiğinde 99(A−C)=49599(A - C) = 495 elde edilir ve buradan A−C=5A - C = 5 bağıntısına ulaşılır. CBACBA sayısı üç basamaklı olduğundan CC sıfır olamaz. Bu koşula uyan (A,C)(A, C) rakam çiftleri (6,1),(7,2),(8,3),(9,4)(6,1), (7,2), (8,3), (9,4) olmak üzere 4 tanedir. Rakamları farklı koşulu gereği BB rakamı AA ve CC değerlerini alamayacağı için geriye kalan 8 rakamdan biri olabilir. Böylece 4×8=324 \times 8 = 32 farklı sayı yazılabilir. Bu nedenle 32 değerini veren seçenek doğrudur.

Step-by-Step Solution

1
ABC ve CBA üç basamaklı sayılarını çözümleyerek aralarındaki fark ifadesini sadeleştirin.
ABC−CBA=(100A+10B+C)−(100C+10B+A)=99(A−C)ABC - CBA = (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 99(A - C) elde edilir.
Sayı basamaklarının çözümleme kuralı uygulanarak B bilinmeyeninin sadeleşmesi sağlanır.
2
Verilen fark değerini kullanarak A ile C arasındaki farkı bulun.
99(A−C)=495⇒A−C=599(A - C) = 495 \Rightarrow A - C = 5 bulunur.
Soruda verilen sayısal fark değerinden basamaklar arası sayısal ilişkiye geçilir.
3
CBA sayısının da üç basamaklı olduğunu göz önünde bulundurarak A ve C rakamlarının alabileceği değerleri belirleyin.
C≠0C \neq 0 olmalıdır. Bu durumda A−C=5A - C = 5 koşulunu sağlayan (A,C)(A, C) ikilileri (6,1),(7,2),(8,3),(9,4)(6,1), (7,2), (8,3), (9,4) olmak üzere 4 tanedir.
Sayının basamak sayısı kuralı gereği en büyük basamağın s��fır olamayacağı kısıtlaması uygulanır.
4
Rakamları birbirinden farklı olma koşuluna göre B rakamının alabileceği değer sayısını bulun.
BB rakamı toplam 10 rakam arasından seçilebilir ancak B≠AB \neq A ve B≠CB \neq C olmalıdır. Dolayısıyla her ikili için BB'nin alabileceği 10−2=810 - 2 = 8 farklı değer vardır.
Soruda belirtilen 'rakamları birbirinden farklı' koşulu her bir basamak için ayrı ayrı sağlanmalıdır.
5
Bulunan durum sayılarını çarparak yazılap bilecek toplam ABC sayısını hesaplayın.
4 farklı (A,C)(A, C) ikilisi ve her biri için 8 farklı BB değeri olduğundan toplam 4×8=324 \times 8 = 32 sayı yazılabilir.
Çarpma yoluyla sayma yöntemi kullanılarak tüm olası durumlar hesaplanır.

Key Concept

Sayı basamaklarının çözümlenmesi ve basamak sayısı kısıtlamaları

Hints

1
ABCABC ve CBACBA sayılarını basamak değerlerine göre çözümleyerek fark ifadesini AA ve CC cinsinden yazın.
2
Elde ettiğiniz 99(A−C)=49599(A-C) = 495 eşitliğinden A−C=5A - C = 5 bağıntısını bulun. CBACBA üç basamaklı olduğu için CC'nin sıfır olamayacağına dikkat edin.
3
A−C=5A - C = 5 koşulunu sağlayan 4 adet (A,C)(A, C) ikilisi vardır. Rakamları farklı dendiği için her durum için BB rakamı AA ve CC'den farklı olmalıdır. BB için kaç seçenek kalacağını hesaplayın.

Practice More

Benzer şekilde dört basamaklı sayılar içeren veya basamaklarının yerleri değiştiğinde değeri belirli bir oranda artan/azalan sayı basamakları problemlerini çözerek konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternative Method

Çözümleme yaptıktan sonra A−C=5A - C = 5 farkını doğrudan sağlayan değerleri deneyerek de bulabilirsiniz. Örneğin C=1C=1 için A=6A=6 olur. Sayımız 6B16B1 biçimindedir. Rakamları farklı olacağından BB yerine 66 ve 11 dışındaki tüm rakamlar yazılabilir. Bu mantıkla her durum tek tek doğrulanabilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Sayı Basamakları ve Çözümleme

More questions from this topic