Bir ABCD yamuğunda [AB] \parallel [CD]'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası E'dir. E … — ALES

Bir $ABCD$ yamuğunda $[AB] \parallel [CD]$ 'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası $E$ 'dir. $E$ noktasından tabanlara paralel olarak çizilen $[KL]$ doğru parçası, köşegenlerin kesim noktasından geçmekte ve uç noktaları yan kenarlar üzerinde bulunmaktadır ( $K \in [AD]$ ve $L \in [BC]$ ).

$|AB| = 12\text{ cm}$ ve $|CD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|KL|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

A
3
B
4
6Answer
D
8
E
9

Answer

Köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen ve uçları yan kenarlar üzerinde olan

[KL]

segmentinin uzunluğu 6 cm'dir.

Doğru cevap 6 cm'dir. Yamuğun köşegenlerinin kesim noktası olan E noktasından tabanlara paralel çizilen [KL] segmentinin uzunluğu, kelebek benzerliği ve temel orantı teoremi yardımıyla

|KE| = 3\text{ cm}

|EL| = 3\text{ cm}

bulunarak toplamda 6 cm olarak hesaplanır. Alternatif olarak, köşegenlerin kesim noktasından geçen paralelin uzunluğu

|KL| = \frac{2ab}{a+b}

formülüyle de hesaplanabilir:

|KL| = \frac{2 \cdot 12 \cdot 4}{12 + 4} = 6\text{ cm}

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Kelebek benzerliğini kullanarak köşegenlerin kesim noktasındaki oranları bulun.

[AB] \parallel [CD]

olduğundan

\triangle DEC \sim \triangle BEA

(kelebek benzerliği) elde edilir. Benzerlik oranı:

\frac{|CD|}{|AB|} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

'tür. Buradan

\frac{|DE|}{|EB|} = \frac{1}{3}

\frac{|CE|}{|EA|} = \frac{1}{3}

bulunur.

Köşegenlerin birbirini hangi oranda böldüğünü belirlemek, yan kenarlara kadar uzanan paralel parçaların uzunluklarını bulmak için gereklidir.

K

E

noktaları arasındaki uzunluğu (

|KE|

) bulmak için üçgende benzerlik uygulayın.

\triangle DAB

üçgeninde

[KE] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{|KE|}{|AB|}

yazılır.

\frac{|DE|}{|DB|} = \frac{1}{1+3} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|KE|}{12} \implies |KE| = 3\text{ cm}

elde edilir.

[KL]

doğru parçasının sol kısmının uzunluğunu hesaplamak amacıyla temel orantı teoremi kullanılır.

E

L

noktaları arasındaki uzunluğu (

|EL|

) bulup toplam

|KL|

uzunluğunu hesaplayın.

Benzer şekilde,

\triangle CAB

üçgeninde

[EL] \parallel [AB]

olduğundan,

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{|EL|}{|AB|}

olur.

\frac{|CE|}{|CA|} = \frac{1}{4}

olduğundan,

\frac{1}{4} = \frac{|EL|}{12} \implies |EL| = 3\text{ cm}

bulunur. Böylece,

|KL| = |KE| + |EL| = 3 + 3 = 6\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[KL]

doğru parçasının tamamının uzunluğunu elde etmek için iki parçanın uzunluğu toplanır.

Key Concept

Yamukta köşegenlerin kesim noktasından tabanlara paralel çizilen doğrunun uzunluğu, benzerlik oranları kullanılarak bulunur.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics