Examkin

Question

Difficulty: Mediumİki Doğrunun Birbirine Göre Durumu
Denklemleri
d1:(a−2)x+3y−5=0d_1: (a-2)x + 3y - 5 = 0
d2:4x+(a+2)y+7=0d_2: 4x + (a+2)y + 7 = 0
olan doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktası bulunmadığına göre, aa parametresinin alabileceği pozitif değer kaçtır?
  1. A
    2
  2. 4Answer
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    14

Answer

Doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması onların paralel olduğunu gösterir ve bu durumda eğimlerinin eşitliğinden a parametresinin alabileceği pozitif değer 4 olarak bulunur.
Verilen doğruların hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların paralel olduğu anlamına gelir. Paralel doğruların eğimleri eşittir. d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} dir. Bu eğimleri birbirine eşitlediğimizde −a−23=−4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} elde edilir. Buradan (a−2)(a+2)=12(a-2)(a+2) = 12 ve a2−4=12a^2 - 4 = 12 bulunur. Denklemi çözdüğümüzde a2=16a^2 = 16 elde edilir ki bu da a=4a = 4 veya a=−4a = -4 demektir. Soruda bizden pozitif değer istendiği için doğru cevap 4 olmalıdır.

Step-by-Step Solution

1
Doğruların koordinat düzleminde hiçbir ortak noktasının bulunmaması durumunun geometrik anlamını belirlemek.
d1d_1 ve d2d_2 doğruları birbirine paraleldir (d1∥d2d_1 \parallel d_2).
Koordinat düzleminde çakışık olmayan iki doğrunun kesişmemesi (ortak noktasının olmaması) ancak ve ancak bu doğruların paralel olmasıyla mümkündür.
2
Doğruların eğimlerini katsayıları cinsinden hesaplamak.
d1d_1 doğrusunun eğimi m1=−a−23m_1 = -\frac{a-2}{3} ve d2d_2 doğrusunun eğimi m2=−4a+2m_2 = -\frac{4}{a+2} olur.
Ax+By+C=0Ax + By + C = 0 biçimindeki bir doğrunun eğimi m=−ABm = -\frac{A}{B} formülüyle bulunur.
3
Paralel doğruların eğimlerinin eşit olması özelliğini kullanarak denklem kurmak ve çözmek.
−a−23=−4a+2⇒a−23=4a+2-\frac{a-2}{3} = -\frac{4}{a+2} \Rightarrow \frac{a-2}{3} = \frac{4}{a+2} ve buradan (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir (m1=m2m_1 = m_2).
4
a2=16a^2 = 16 denklemini sağlayan değerleri bulup pozitif olanı seçmek.
a=4a = 4 veya a=−4a = -4 bulunur. Pozitif değer istendiği için a=4a = 4 alınır.
Karesi 16 olan sayılar 4 ve -4'tür. Sorudaki pozitiflik koşulunu sağlayan değer 4'tür.

Key Concept

İki doğrunun paralel olması durumunda eğimleri birbirine eşittir. Genel denklemi A1x+B1y+C1=0A_1x + B_1y + C_1 = 0 ve A2x+B2y+C2=0A_2x + B_2y + C_2 = 0 olan doğruların paralel olması için katsayılar arasında A1A2=B1B2≠C1C2\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} \neq \frac{C_1}{C_2} bağıntısı bulunmalıdır.

Hints

1
İki doğrunun hiçbir ortak noktasının olmaması, bu doğruların birbirine paralel olduğunu gösterir.
2
Paralel doğruların eğimleri birbirine eşittir. Doğruların eğimlerini xx ve yy katsayılarını kullanarak bulunuz.
3
d1d_1 için eğim −a−23-\frac{a-2}{3} ve d2d_2 için eğim −4a+2-\frac{4}{a+2} dir. Bu iki değeri birbirine eşitleyerek a2a^2 ifadesini bulunuz.

Practice More

Eğer bu doğrular birbirine dik olsaydı, eğimleri çarpımının -1 olması gerekirdi. Benzer şekilde doğruların çakışık olması durumunda ise sabit terimlerin oranı da bu orana eşit olurdu.

Alternative Method

Paralellik durumunda x'in katsayıları oranının, y'nin katsayıları oranına eşit olması gerekir. Yani a−24=3a+2\frac{a-2}{4} = \frac{3}{a+2} bağıntısı doğrudan kurulabilir. Buradan içler dışlar çarpımı yapılarak (a−2)(a+2)=12⇒a2−4=12⇒a2=16(a-2)(a+2) = 12 \Rightarrow a^2 - 4 = 12 \Rightarrow a^2 = 16 elde edilir.
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

İki Doğrunun Birbirine Göre Durumu

More questions from this topic