Bir düzlemde bulunan 9 doğrudan 3 tanesi birbirine paralel, bunlardan farklı diğer 3 tanes… — ALES

Bir düzlemde bulunan $9$ doğrudan $3$ tanesi birbirine paralel, bunlardan farklı diğer $3$ tanesi de kendi aralarında birbirine paraleldir. Geriye kalan $3$ doğru ise sabit bir $A$ noktasında kesişmektedir.

$A$ noktası paralel doğruların hiçbirinin üzerinde olmadığına ve bu $9$ doğrudan herhangi üçü $A$ noktası dışında ortak bir noktada kesişmediğine göre, bu doğruların kesişimiyle elde edilebilecek üçgen sayısı kaçtır?

A
$27$
$45$ Answer
C
$46$
D
$48$
E
$81$

Answer

Düzlemdeki doğruların kesişimiyle elde edilebilecek toplam üçgen sayısı

45

'tir.

Düzlemde seçilen 3 doğrunun üçgen oluşturabilmesi için hiçbir ikisinin paralel olmaması ve üçünün aynı noktada kesişmemesi gerekir. Bu doğrultuda yapılan analizde, 3 paralel doğrudan oluşan G1 grubundan en fazla 1 doğru, diğer 3 paralel doğrudan oluşan G2 grubundan en fazla 1 doğru ve A noktasında kesişen 3 doğrudan oluşan G3 grubundan en fazla 2 doğru seçilebilir. Bu koşulları sağlayan seçimler: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru (27 adet); G1'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet); G2'den 1, G3'ten 2 doğru (9 adet) şeklindedir. Toplamda 45 farklı üçgen elde edilir.

Step-by-Step Solution

Doğruların gruplandırılması ve toplam seçim sayısının hesaplanması

G1 grubu: 3 paralel doğru, G2 grubu: 3 paralel doğru, G3 grubu: A noktasında kesişen 3 doğru. Toplam 9 doğru arasından oluşturulabilecek tüm 3'lü seçimlerin sayısı:

\binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84

adettir.

Üçgen oluşturmak için düzlemde 3 doğruya ihtiyaç duyulduğundan öncelikle tüm olası 3'lü doğru kombinasyonları hesaplanır.

Doğruların üçgen oluşturabilme şartlarının belirlenmesi

Bir 3'lü doğru grubunun üçgen oluşturabilmesi için: 1) Doğrulardan herhangi ikisi birbirine paralel olmamalıdır. 2) Üç doğru aynı noktada kesişmemelidir (noktadaş olmamalıdır).

Hangi durumların üçgen oluşturup hangilerinin oluşturamayacağını belirlemek için geometrik kurallar uygulanır.

Üçgen oluşturabilecek durumların gruplara göre analiz edilmesi

Üçgen oluşumu için G1 ve G2 gruplarından en fazla 1'er doğru seçilebilir (çünkü kendi içlerinde paraleldirler). G3 grubundan ise en fazla 2 doğru seçilebilir (3 doğru seçilirse A noktasında kesişirler). Bu kurallara uyan durumlar: Case 1: G1'den 1, G2'den 1, G3'ten 1 doğru. Case 2: G1'den 1, G2'den 0, G3'ten 2 doğru. Case 3: G1'den 0, G2'den 1, G3'ten 2 doğru.

Koşullara uygun doğrudan üçgen oluşturacak durumları belirlemek için gruplar bazında ayrıntılı analiz yapılır.

Belirlenen durumların kombinasyon sayılarının hesaplanması ve toplanması

Case 1:

\binom{3}{1} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{1} = 3 \times 3 \times 3 = 27

. Case 2:

\binom{3}{1} \times \binom{3}{0} \times \binom{3}{2} = 3 \times 1 \times 3 = 9

. Case 3:

\binom{3}{0} \times \binom{3}{1} \times \binom{3}{2} = 1 \times 3 \times 3 = 9

. Toplam:

27 + 9 + 9 = 45

adet üçgen oluşur.

Her bir bağımsız durumun olasılığı kombinasyon formülüyle hesaplanıp toplanarak sonuca ulaşılır.

Key Concept

Kombinasyon yardımıyla doğruların kesişiminden oluşan üçgen sayısının geometrik yorumu.

Alternative Method

Tüm durumlardan üçgen oluşturmayan durumların çıkarılması (tümleme yöntemi) alternatif bir yol olarak kullanılabilir. Toplam durum

\binom{9}{3} = 84

'tür. Üçgen oluşturmayan durumlar: Tümü paralel olanlar

2

adet, sadece ikisi paralel olanlar

2 \times \binom{3}{2} \times 6 = 36

adet ve üçü tek noktada kesişenler

\binom{3}{3} = 1

adettir. Buradan

84 - (2 + 36 + 1) = 45

bulunur.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic