Examkin

Question

Difficulty: MediumDik Üçgen ve Muhteşem Üçlü Açı İlişkileri

Bir ABCDABCD dışbükey dörtgeninde, BB ve DD köşeleri [AC][AC] köşegeninin farklı taraflarında yer almaktadır.

[AB]⊥[BC][AB] \perp [BC]
[AD]⊥[DC][AD] \perp [DC]

[AC][AC] köşegeninin orta noktası EE noktasıdır. m(BAC^)=50∘m(\widehat{BAC}) = 50^\circ ve m(DAC^)=30∘m(\widehat{DAC}) = 30^\circ olduğuna göre, m(EBD^)=xm(\widehat{EBD}) = x kaç derecedir?

  1. A
    30∘30^\circ
  2. B
    20∘20^\circ
  3. 10∘10^\circAnswer
  4. D
    40∘40^\circ
  5. E
    50∘50^\circ

Answer

İstenen açı 10∘10^\circ olarak bulunur.
Doğru cevap 10∘10^\circ olan seçenektir. [AB]⊥[BC][AB] \perp [BC] ve [AD]⊥[DC][AD] \perp [DC] olduğundan ABCABC ve ADCADC birer dik üçgendir. Hipotenüsün orta noktası olan EE noktasına çizilen BEBE ve DEDE kenarortayları muhteşem üçlü özelliğinden dolayı hipotenüsün yarısına (AE=CEAE = CE) eşit olur. Bu durumda AE=BE=CE=DEAE = BE = CE = DE eşitliği elde edilir. Buradan ABEABE ve ADEADE üçgenlerinin ikizkenar üçgen olduğu görülür. İkizkenar üçgenlerin taban açılarından faydalanarak m(BEC^)=100∘m(\widehat{BEC}) = 100^\circ ve m(DEC^)=60∘m(\widehat{DEC}) = 60^\circ bulunur. BB ve DD noktaları farklı taraflarda olduğu için tepe açısı m(BED^)=160∘m(\widehat{BED}) = 160^\circ olan BDEBDE ikizkenar üçgeni elde edilir. Bu üçgenin taban açısı olan xx ise 180∘−160∘2=10∘\frac{180^\circ - 160^\circ}{2} = 10^\circ olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
İlk olarak ABCABC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
BEBE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: BE=AE=CEBE = AE = CE.
Bir dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğu, hipotenüsün yarısına eşittir.
2
ABEABE ikizkenar üçgeninde (AE=BEAE = BE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ABE^)=m(BAE^)=50∘m(\widehat{ABE}) = m(\widehat{BAE}) = 50^\circ olur. Buradan dış açı m(BEC^)=50∘+50∘=100∘m(\widehat{BEC}) = 50^\circ + 50^\circ = 100^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir ve bir dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
3
Benzer şekilde, ADCADC dik üçgeninde [AC][AC] hipotenüsünün orta noktası EE olduğu için muhteşem üçlü özelliğini uygulayalım.
DEDE kenarortayının uzunluğu hipotenüsün yarısına eşit olur: DE=AE=CEDE = AE = CE.
Aynı hipotenüsü paylaşan diğer dik üçgende de muhteşem üçlü kuralı geçerlidir.
4
ADEADE ikizkenar üçgeninde (AE=DEAE = DE) taban açılarını ve dış açıyı bulalım.
m(ADE^)=m(DAE^)=30∘m(\widehat{ADE}) = m(\widehat{DAE}) = 30^\circ olur. Buradan dış açı m(DEC^)=30∘+30∘=60∘m(\widehat{DEC}) = 30^\circ + 30^\circ = 60^\circ bulunur.
İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.
5
BDEBDE üçgeninin tepe açısını ve kenar ilişkisini belirleyelim.
m(BED^)=m(BEC^)+m(DEC^)=100∘+60∘=160∘m(\widehat{BED}) = m(\widehat{BEC}) + m(\widehat{DEC}) = 100^\circ + 60^\circ = 160^\circ olur. Ayrıca BE=AEBE = AE ve DE=AEDE = AE olduğundan BE=DEBE = DE elde edilir.
BB ve DD noktaları ACAC doğrusunun farklı taraflarında olduğundan EE noktasındaki açılar toplanır. İki kenar da hipotenüsün yarısına eşit olduğu için BDEBDE ikizkenar üçgendir.
6
BDEBDE ikizkenar üçgeninde taban açısı olan xx'i hesaplayalım.
2x+160∘=180∘  ⟹  2x=20∘  ⟹  x=10∘2x + 160^\circ = 180^\circ \implies 2x = 20^\circ \implies x = 10^\circ bulunur.
Üçgenin iç açıları toplamı 180∘180^\circ olup ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir.

Key Concept

Dik üçgende hipotenüse ait kenarortayın hipotenüsün yarısına eşit olması (Muhteşem Üçlü) ve bu özelliğin oluşturduğu ikizkenar üçgenlerde açı ilişkileri.
Rate this question

Topics

Dik Üçgen ve Muhteşem Üçlü Açı İlişkileri