Bir ABC üçgeninde m(\widehat{ABC}) = 135^\circ, |AB| = 7\text{ cm} ve |BC| = 5\sqrt{2}\tex… — ALES

Bir $ABC$ üçgeninde $m(\widehat{ABC}) = 135^\circ$ , $|AB| = 7\text{ cm}$ ve $|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}$ olduğuna göre, $|AC|$ uzunluğu kaç cm'dir?

$13$ Answer
B
$3\sqrt{11}$
C
$\sqrt{29}$
D
$\sqrt{119}$
E
$17$

Answer

AC uzunluğu 13 cm'dir.

Doğru cevap olan 13 cm uzunluğu, B köşesindeki dış açının 45 derece olmasından yararlanılarak dışarıda bir ikizkenar dik üçgen oluşturulması ve ardından oluşan 5-12-13 özel dik üçgeninde Pisagor teoreminin uygulanmasıyla elde edilir.

Step-by-Step Solution

Geniş açılı

ABC

üçgeninde

AB

kenarı

A

yönünde uzatılarak

C

köşesinden bu uzantıya dikme indirilir ve

H

dikme noktası belirlenir.

H

noktasında dik açı (

m(\widehat{CHA}) = 90^\circ

) oluşur ve bütünler açılardan

m(\widehat{HBC}) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ

bulunur.

Dışarıda

45^\circ-45^\circ-90^\circ

özel dik üçgeni elde ederek bilinmeyen kenarları hesaplamak.

HBC

ikizkenar dik üçgeninde hipotenüs

|BC| = 5\sqrt{2}\text{ cm}

olduğundan dik kenar uzunlukları hesaplanır.

|HB| = |HC| = \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5\text{ cm}

olarak bulunur.

45^\circ-45^\circ-90^\circ

üçgeninde dik kenarların

\sqrt{2}

katı hipotenüse eşittir.

AHC

dik üçgeninde Pisagor teoremi uygulanır. Burada

|AH| = |AB| + |HB| = 7 + 5 = 12\text{ cm}

|HC| = 5\text{ cm}

'dir.

|AC|^2 = |AH|^2 + |HC|^2 \implies |AC|^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Büyük dik üçgende Pisagor teoremi yardımıyla hipotenüs olan

|AC|

uzunluğunu bulmak.

Key Concept

Geniş açılı üçgenlerde dış dikme yardımıyla özel dik üçgen (45-45-90) oluşturma ve Pisagor teoremini uygulama.

Alternative Method

Kosinüs teoremi kullanılarak da çözülebilir:

|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(135^\circ)

. Burada

\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}

yazıldığında

|AC|^2 = 49 + 50 - 2 \cdot 7 \cdot 5\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 99 + 70 = 169 \implies |AC| = 13\text{ cm}

bulunur.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Alternative Method

Topics

More questions from this topic