Çemberde Uzunluk ve Benzerlik

1 questions

Bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi çizilmiştir. $A$ açısının açıortayı, $[BC]$ kenarını $D$ noktasında, çevrel çemberi ise $E$ noktasında kesmektedir.

$|AB| = 6\text{ cm}$ , $|AC| = 8\text{ cm}$ ve $|AD| = 4\text{ cm}$ olduğuna göre, $|DE|$ uzunluğu kaç $\text{cm}$ 'dir?

Show answer & explanation

Answer: 8

Answer

İstenen uzunluk 8 santimetredir.

Çemberde aynı yayı gören çevre açıların eşitliği ilkesine dayanarak

\triangle ABD

ile

\triangle AEC

üçgenlerinin benzer olduğu görülür. Benzerlik oranından

|AE| = 12\text{ cm}

olarak hesaplanır.

[AE]

uzunluğundan

[AD]

uzunluğu çıkarıldığında

|DE| = 8\text{ cm}

sonucuna ulaşılır.

Step-by-Step Solution

Çevre açıların eşitliğini belirleme

m(\angle ABD) = m(\angle AEC)

Aynı yayı (

AC

yayını) gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir.

Açıortay özelliğini yazma

m(\angle BAD) = m(\angle EAC)

[AE]

doğrusu

A

açısının açıortayı olduğu için açıyı iki eş parçaya böler.

Üçgenler arasındaki benzerliği kurma

\triangle ABD \sim \triangle AEC

(Açı-Açı benzerliği)

İkişer açıları eşit olan üçgenler benzerdir.

Benzerlik oranını yazarak

|AE|

uzunluğunu bulma

|AE| = 12\text{ cm}

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

yazılır. Buradan

\frac{6}{|AE|} = \frac{4}{8} \implies 4 \cdot |AE| = 48 \implies |AE| = 12\text{ cm}

elde edilir.

|DE|

uzunluğunu hesaplama

|DE| = 8\text{ cm}

A

D

E

noktaları doğrusal olduğundan

|AE| = |AD| + |DE|

yazılır.

12 = 4 + |DE| \implies |DE| = 8\text{ cm}

bulunur.

Key Concept

Çemberde benzerlik bağıntıları kurulurken aynı yayı gören çevre açıların eşitliği kullanılarak benzer üçgenler elde edilir.

Hints

Aynı yayı gören çevre açıların ölçülerinin eşit olduğunu hatırlayın.

\triangle ABD

\triangle AEC

üçgenlerinin açılarını karşılaştırarak benzer olup olmadıklarını kontrol edin.

Benzerlikten

\frac{|AB|}{|AE|} = \frac{|AD|}{|AC|}

eşitliğini kullanarak önce

|AE|

uzunluğunu bulun.

Estimated Time:1m 30s

Çemberde Uzunluk ve Benzerlik

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Hints