Üçgende Kenarortay ve Ağırlık Merkezi

1 questions

Bir $ABC$ dik üçgeninde $[AB] \perp [AC]$ 'dir. $G$ noktası bu üçgenin ağırlık merkezidir.

$|AB| = 12\text{ cm}$ ve $|AC| = 16\text{ cm}$ olduğuna göre, $G$ noktasının $[BC]$ kenarına olan en kısa uzaklığı kaç $\text{cm}$ 'dir?

1,6

2,4

3,2

4,8

9,6

Show answer & explanation

Answer: $3,2$

Ağırlık merkezinin

[BC]

kenarına olan en kısa uzaklığı

3,2\text{ cm}

'dir.

Üçgenin alanı yardımıyla hipotenüse ait yükseklik

9,6\text{ cm}

olarak hesaplanır. Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı

2:1

oranında böldüğü için bu noktanın

[BC]

kenarına olan dik uzaklığı da yüksekliğin üçte birine eşit olur. Buradan

9,6 / 3 = 3,2\text{ cm}

sonucu elde edilir.

ABC dik üçgeninde Pisagor bağıntısı kullanılarak hipotenüs uzunluğu bulunur.

|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2 \implies |BC|^2 = 12^2 + 16^2 = 144 + 256 = 400 \implies |BC| = 20\text{ cm}

Yüksekliği ve ağırlık merkezinin konumunu belirlemek için öncelikle hipotenüs uzunluğuna ihtiyaç duyulmaktadır.

Üçgenin alanı iki farklı şekilde hesaplanarak

[BC]

kenarına ait yükseklik (

h_a

) elde edilir.

\text{Alan}(ABC) = \frac{|AB| \times |AC|}{2} = \frac{12 \times 16}{2} = 96\text{ cm}^2

ve aynı zamanda

\text{Alan}(ABC) = \frac{|BC| \times h_a}{2} \implies 96 = \frac{20 \times h_a}{2} \implies h_a = 9,6\text{ cm}

Ağırlık merkezinin kenara olan dik uzaklığı, köşeden kenara inen yüksekliğin belirli bir oranıdır.

Ağırlık merkezinin kenarortayı bölme oranı kullanılarak en kısa uzaklık hesaplanır.

Ağırlık merkezi, köşeden kenara doğru kenarortayı

2:1

oranında böldüğü için kenara olan uzaklık yüksekliğin üçte biridir. Buradan

h_G = \frac{h_a}{3} = \frac{9,6}{3} = 3,2\text{ cm}

olarak bulunur.

Ağırlık merkezinin kenara olan en kısa uzaklığı, o kenara ait yüksekliğin üçte birine eşittir.

Üçgende Ağırlık Merkezi ve Yükseklik İlişkisi

Ağırlık merkezinden köşelere çizilen doğrularla oluşan

GBC

üçgeninin alanı, tüm üçgenin alanının üçte biridir.

\text{Alan}(GBC) = \frac{96}{3} = 32\text{ cm}^2

bulunur.

GBC

üçgeninde taban

|BC| = 20\text{ cm}

olduğundan, tabana ait yükseklik

h_G

ise

\frac{20 \times h_G}{2} = 32 \implies h_G = 3,2\text{ cm}

elde edilir.

Estimated Time:1m 30s