Examkin

Sayma ve Olasılık

63 questions

Question 61Question →

Bir hastanede kurulacak 4 kişilik bir araştırma ekibi için 3 kardiyolog ve 4 nörolog aday gösterilmiştir. Bu ekipte en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunması zorunludur. Ayrıca adaylar arasında yer alan Kardiyolog Dr. Ahmet ile Nörolog Dr. Mehmet aynı ekipte birlikte çalışmak istememektedir. Buna göre, bu araştırma ekibi kaç farklı şekilde oluşturulabilir?

Show answer & explanation

Answer: 24

Answer

Ekip 24 farklı şekilde oluşturulabilir.
Doğru cevap 24'tür. En az bir kardiyolog ve en az bir nörolog içeren tüm 4 kişilik grupların sayısı 34'tür. Bu gruplardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte yer aldığı 10 grup çıkarıldığında geriye istenen şartları sağlayan 24 farklı grup kalır.

Step-by-Step Solution

1
Tüm adaylar arasından en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunan 4 kişilik ekiplerin toplam sayısını bulmak.
Toplam ekip sayısı 3434 olur.
Hiçbir kısıtlama olmadan 7 kişiden 4 kişi C(7,4)=35C(7,4) = 35 farklı ��ekilde seçilir. Ancak en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog olması gerektiğinden, sadece nörologlardan oluşan durum çıkarılmalıdır. Sadece nörologlardan oluşan durum sayısı C(4,4)=1C(4,4) = 1 olduğundan, 35−1=3435 - 1 = 34 durum elde edilir.
2
Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumların sayısını hesaplamak.
Birlikte bulundukları durum sayısı 1010 olur.
Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet ekibe seçildiğinde, ekipte zaten en az bir kardiyolog ve en az bir nörolog bulunma şartı sağlanmış olur. Kalan 2 kişi, bu iki doktor dışındaki 5 aday arasından C(5,2)=10C(5,2) = 10 farklı şekilde seçilir.
3
Tüm durumlardan Dr. Ahmet ve Dr. Mehmet'in birlikte bulunduğu durumları çıkarmak.
Geçerli ekip sayısı 2424 olarak bulunur.
İstenen koşul bu iki doktorun birlikte çalışmaması olduğundan, tüm uygun durumlardan birlikte bulundukları durumlar çıkarılır.

Key Concept

Kısıtlı kombinasyon hesaplamaları ve küme dışlama yöntemi.
Question 62Question →
n>1n > 1 bir tam sayı olmak üzere,
(n−2)!⋅(n2−1)(n+2)!=124\frac{(n-2)! \cdot (n^2 - 1)}{(n+2)!} = \frac{1}{24}
olduğuna göre, nn kaçtır?
Show answer & explanation

Answer: 4

Answer

Verilen ifadenin sadeleştirilmesiyle elde edilen n(n+2) = 24 eşitliğinden n = 4 bulunur.
Verilen denklemde payda yer alan n2−1n^2-1 ifadesi iki kare farkı özdeşliğiyle (n−1)(n+1)(n-1)(n+1) şeklinde yazılır. Paydadaki (n+2)!(n+2)! ifadesi ise (n−2)!(n-2)! terimine kadar geriye doğru açıldığında (n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)! elde edilir. Bu açılımlar rasyonel ifadede yerine yazılıp pay ve paydadaki ortak olan (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) çarpanları sadeleştirilirse denklem 1n(n+2)=124\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24} haline gelir. Buradan n(n+2)=24n(n+2) = 24 eşitliği elde edilir. Çarpımları 24 olan ve aralarında 2 fark bulunan pozitif tam sayılardan küçük olanı 4'tür. Bu nedenle n=4n = 4 değeri doğru cevaptır.

Step-by-Step Solution

1
Pay ve paydadaki ifadeleri en küçük faktöriyelli terim olan (n-2)! cinsinden açın ve iki kare farkı özdeşliğini uygulayın.
n2−1=(n−1)(n+1)n^2 - 1 = (n-1)(n+1) ve (n+2)!=(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!(n+2)! = (n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!
Ortak çarpanları bularak sadeleştirme işlemini gerçekleştirmek.
2
Açılımları denklemde yerine yazarak ortak terimleri sadeleştirin.
(n−2)!⋅(n−1)(n+1)(n+2)(n+1)n(n−1)(n−2)!=1n(n+2)=124\frac{(n-2)! \cdot (n-1)(n+1)}{(n+2)(n+1)n(n-1)(n-2)!} = \frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{24}
Pay ve paydadaki (n−2)!(n-2)!, (n−1)(n-1) ve (n+1)(n+1) terimleri birbirini sadele��tirerek ifadeyi en basit haline getirir.
3
Sadeleşen eşitlikten içler dışlar çarpımı yaparak ikinci dereceden bir denklem elde edin.
n(n+2)=24  ⟹  n2+2n−24=0n(n+2) = 24 \implies n^2 + 2n - 24 = 0
Bilinmeyen n değerini bulmak amacıyla denklem kurmak.
4
Denklemi çarpanlarına ayırarak pozitif tam sayı olan kökü belirleyin.
(n+6)(n−4)=0  ⟹  n=4(n+6)(n-4) = 0 \implies n = 4 (n=−6n = -6 değeri n>1n > 1 şartını sağlamaz)
n sayısının 1'den büyük bir tam sayı olması şartına uygun olan kökü seçmek.

Key Concept

Faktöriyel içeren rasyonel ifadelerde sadeleştirme ve çarpanlara ayırma yöntemleri

Alternative Method

Cebirsel çözüm yerine seçeneklerdeki değerler denklemde n yerine yazılarak kontrol edilebilir. n = 4 için: 2!⋅(42−1)6!=2⋅15720=30720=124\frac{2! \cdot (4^2 - 1)}{6!} = \frac{2 \cdot 15}{720} = \frac{30}{720} = \frac{1}{24} elde edilir ve eşitliğin sağlandığı doğrudan görülür.
Estimated Time:1m 30s
Question 63Question →
Bir EE örnek uzayında tanımlı AA ve BB olayları için,
P(A′)=23P(A') = \frac{2}{3}
P(B)=12P(B) = \frac{1}{2}
P(A′∩B′)=14P(A' \cap B') = \frac{1}{4}
olduğu bilinmektedir.

Buna göre, AA ve BB olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı olan P(A∩B)P(A \cap B) değeri kaçtır?

Show answer & explanation

Answer: 112\frac{1}{12}

Answer

Bir bölü on iki
De Morgan kuralları kullanılarak birleşim olasılığı P(A∪B)=1−P(A′∩B′)=34P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = \frac{3}{4} olarak bulunur. Tümleyen kuralından P(A)=1−P(A′)=13P(A) = 1 - P(A') = \frac{1}{3} elde edilir. Bu değerler genel birleşim formülü olan P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) içinde yerine yazılıp paydalar eşitlendiğinde birlikte gerçekleşme olasılığı bir bölü on iki olarak doğru bir şekilde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
P(A)P(A) değerini bulmak için tümleyen özelliğini kullanın.
P(A)=1−P(A′)=1−23=13P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}
Birleşim formülünde olayın kendisinin olasılığına ihtiyaç duyulmaktadır.
2
De Morgan kurallarını kullanarak P(A∪B)P(A \cup B) olasılığını elde edin.
P(A′∩B′)=P((A∪B)′)=1−P(A∪B)⇒P(A∪B)=1−14=34P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \Rightarrow P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}
İki olayın tümleyenlerinin kesişimi, bu olayların birleşiminin tümleyenine eşittir.
3
Olasılık birleşim formülünü yazıp bilinen değerleri yerine koyarak kesişim olasılığını hesaplayın.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)⇒34=13+12−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \Rightarrow \frac{3}{4} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - P(A \cap B) paydalar 12'de eşitlendiğinde 912=412+612−P(A∩B)⇒P(A∩B)=112\frac{9}{12} = \frac{4}{12} + \frac{6}{12} - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{12} bulunur.
İki olayın birleşim ve kesişim olasılıkları arasındaki temel ilişkiyi kurmak için bu formül gereklidir.

Key Concept

Tümleyen Olaylar, De Morgan Kuralları ve Olasılık Birleşim Formülü
Estimated Time:1m 30s
PreviousPage 4 / 4
Sayma ve Olasılık Practice Questions — ALES — Page 4 | Examkin