Examkin

Question

Difficulty: HardKartezyen Çarpım

Tam sayılar kümesi üzerinde A ve B kümeleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

A={x∈Z:∣x−1∣≤3}A = \{x \in \mathbb{Z} : |x - 1| \leq 3\}
B={y∈Z:∣y+2∣≤4}B = \{y \in \mathbb{Z} : |y + 2| \leq 4\}

Buna göre, analitik düzlemde (A×B)(A \times B) kartezyen çarpım kümesinin elemanlarını kapsayan en küçük çemberin alanı kaç π\pi birimkaredir?

  1. A
    24
  2. 25Answer
  3. C
    48
  4. D
    64
  5. E
    100

Answer

Çemberin yarıçapı 5 birim olduğundan alanı 25π birimkaredir.
Doğru cevap, kümelerin belirlediği dikdörtgensel bölgenin köşegenini çap kabul eden çemberin alanıdır. A kümesi x ekseninde 6 birim, B kümesi y ekseninde 8 birim uzunluğunda bir aralık belirtir. Oluşan 6-8-10 üçgeninden köşegen (çap) 10 bulunur. Yarıçap 5 olduğundan alan 25π25\pi olur.

Step-by-Step Solution

1
A kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.
∣x−1∣≤3  ⟹  −3≤x−1≤3  ⟹  −2≤x≤4|x - 1| \leq 3 \implies -3 \leq x - 1 \leq 3 \implies -2 \leq x \leq 4. (Uzunluk = 4 - (-2) = 6 birim)
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek x eksenindeki sınırları belirlemek için.
2
B kümesinin elemanlarının oluşturduğu aralığı bul.
∣y+2∣≤4  ⟹  −4≤y+2≤4  ⟹  −6≤y≤2|y + 2| \leq 4 \implies -4 \leq y + 2 \leq 4 \implies -6 \leq y \leq 2. (Uzunluk = 2 - (-6) = 8 birim)
Mutlak değer eşitsizliğini çözerek y eksenindeki sınırları belirlemek için.
3
Kartezyen çarpımın oluşturduğu geometrik şekli ve çevreleyen çemberin çapını belirle.
Noktalar 6x8 boyutlarında bir dikdörtgen oluşturur. En küçük çember bu dikdörtgenin köşelerinden geçer. Çap (köşegen) d=62+82=36+64=10d = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = 10 birimdir.
Dikdörtgeni içine alan en küçük çemberin çapı, dikdörtgenin köşegen uzunluğuna eşittir.
4
Çemberin yarıçapını ve alanını hesapla.
Yarıçap r=10/2=5r = 10/2 = 5 birim. Alan =πr2=π⋅52=25π= \pi r^2 = \pi \cdot 5^2 = 25\pi.
Alan formülü πr2\pi r^2 kullanılarak sonuca ulaşmak için.

Key Concept

Kartezyen çarpım kümesinin analitik düzlemde geometrik yorumu ve mutlak değerli eşitsizliklerin çözüm kümeleri.
Rate this question

Topics

Kartezyen Çarpım

More questions from this topic