Examkin

Question

Difficulty: HardÇember ve Daire

Merkez açısının ölçüsü 60∘60^\circ olan OO merkezli bir daire diliminin içine; dilimin yayına ve her iki yarıçapına teğet olacak şekilde, MM merkezli ve rr yarıçaplı bir daire yerleştirilmiştir.

Buna göre, OO merkezli daire diliminin alanının, MM merkezli dairenin alanına oranı kaçtır?

  1. A
    12\frac{1}{2}
  2. B
    23\frac{2}{3}
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. 32\frac{3}{2}Answer
  5. E
    3

Answer

Daire diliminin alanı ile içteki dairenin alanı oranı 32\frac{3}{2}'dir.
Soruda verilen teğetlik şartları, geometrik bir kurgu (açıortay ve dik üçgen) oluşturmayı gerektirir. 30∘−60∘−90∘30^\circ-60^\circ-90^\circ üçgeni özelliği kullanılarak daire diliminin yarıçapının (RR), içteki dairenin yarıçapının (rr) 3 katı olduğu (R=3rR=3r) bulunur. Daire alan formülü (πr2\pi r^2) ve daire dilimi alan formülü (πR2⋅α360\pi R^2 \cdot \frac{\alpha}{360}) uygulandığında oran 32\frac{3}{2} olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Şekli geometrik olarak analiz et
O noktası (dilim merkezi) ile M noktasını (daire merkezi) birleştiren doğru, açıyı iki eşit parçaya böler (30∘−30∘30^\circ-30^\circ). Küçük dairenin yarıçapına rr diyelim.
Teğet çemberlerin merkezleri ve teğet noktaları doğrusal ilişkilere sahiptir; açıortay üzerinde işlem yapmak çözümün anahtarıdır.
2
Dik üçgen oluşturarak uzunlukları hesapla
M merkezinden teğet noktasına (yarıçap) inilen dikme ile oluşan OMA dik üçgeninde, sin⁡(30∘)=r∣OM∣\sin(30^\circ) = \frac{r}{|OM|} olur. Buradan ∣OM∣=r1/2=2r|OM| = \frac{r}{1/2} = 2r bulunur.
30-60-90 üçgeni veya trigonometrik oranlar kullanılarak merkezler arası uzaklık bulunur.
3
Daire diliminin yarıçapını (R) r cinsinden ifade et
Daire diliminin yarıçapı RR, merkezler arası uzaklık (∣OM∣|OM|) ile küçük dairenin yarıçapının (rr) toplamıdır. R=∣OM∣+r=2r+r=3rR = |OM| + r = 2r + r = 3r.
Küçük çember yaya da teğet olduğu için, O'dan yaya kadar olan mesafe (R), O-M mesafesi ve M yarıçapının toplamıdır.
4
Alanları hesapla ve oranla
M merkezli daire alanı: A1=πr2A_1 = \pi r^2. O merkezli daire dilimi alanı: A2=πR2⋅60360=π(3r)2⋅16=9πr2⋅16=3πr22A_2 = \pi R^2 \cdot \frac{60}{360} = \pi (3r)^2 \cdot \frac{1}{6} = 9\pi r^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{3\pi r^2}{2}. Oran: A2A1=3πr2/2πr2=32\frac{A_2}{A_1} = \frac{3\pi r^2 / 2}{\pi r^2} = \frac{3}{2}.
Formüller yerine konularak sonuca gidilir.

Key Concept

Bir açı içine yerleştirilen teğet çemberin merkezi, açının açıortayı üzerindedir. Bu özellik kullanılarak yarıçaplar arasında bağ kurulur.

Hints

1
Şekli zihninizde canlandırın: Küçük dairenin merkezi (M), büyük daire diliminin merkezi (O) ve teğet noktaları arasında nasıl bir geometrik ilişki vardır? Merkezleri birleştiren doğruyu çizin.
Estimated Time:2m 30s
Rate this question

Topics

Çember ve Daire

More questions from this topic