Examkin

Question

Difficulty: HardEn Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

θ>0\theta > 0 olmak üzere, X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n olabilirlik fonksiyonu düzenlilik koşullarını sağlayan ve Fisher bilgi miktarı I(θ)>0I(\theta) > 0 olan bir kitleden çekilmiş bağımsız ve aynı dağılımlı bir rastgele örneklem olsun. θ\theta parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (MLE) θ^n\hat{\theta}_n olarak verilmiştir.

Buna göre, η=ln⁡(θ)\eta = \ln(\theta) parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi olan η^n\hat{\eta}_n ve bu tahmin edicinin asimptotik özellikleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    η=ln⁡(θ)\eta = \ln(\theta) doğrusal olmayan bir dönüşüm olduğundan, değişmezlik (invariance) özelliği gereği η\eta'nın en çok olabilirlik tahmin edicisi doğrudan ln⁡(θ^n)\ln(\hat{\theta}_n) olarak alınamaz.
  2. B
    θ^n\hat{\theta}_n, θ\theta için yansız bir tahmin edici ise, η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n) de her nn örneklem çapı için η\eta'nın yansız bir tahmin edicisidir.
  3. η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n)'dir, η\eta için tutarlı bir tahmin edicidir ve asimptotik varyansı 1θ2nI(θ)\frac{1}{\theta^2 n I(\theta)}'dir.Answer
  4. D
    η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n) asimptotik olarak normal dağılıma sahiptir ve asimptotik varyansı 1θnI(θ)\frac{1}{\theta n I(\theta)}'dir.
  5. E
    η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n) tutarlı bir tahmin edici olmasına rağmen, dönüşüm doğrusal olmadığı için asimptotik etkinlik (efficiency) özelliğini kaybeder.

Answer

η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n)'dir, η\eta için tutarlı bir tahmin edicidir ve asimptotik varyansı 1θ2nI(θ)\frac{1}{\theta^2 n I(\theta)}'dir.
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğine göre, θ\theta'nın MLE'si θ^n\hat{\theta}_n ise, g(θ)g(\theta) fonksiyonunun MLE'si g(θ^n)g(\hat{\theta}_n) olur. Bu özellik doğrusal olmayan dönüşümler için de geçerlidir, bu nedenle η=ln⁡(θ)\eta = \ln(\theta) için MLE η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n)'dir. Ayrıca, θ^n\hat{\theta}_n asimptotik olarak etkin olduğundan, Delta metodu kullanılarak g(θ)=ln⁡(θ)g(\theta) = \ln(\theta) için asimptotik varyans [g′(θ)]2⋅Var(θ^n)[g'(\theta)]^2 \cdot \text{Var}(\hat{\theta}_n) formülü ile hesaplanır. g′(θ)=1/θg'(\theta) = 1/\theta olduğundan, asimptotik varyans (1/θ)2⋅1nI(θ)=1θ2nI(θ)(1/\theta)^2 \cdot \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{\theta^2 n I(\theta)} olarak bulunur. Sürekli dönüşüm teoremi gereği de η^n\hat{\eta}_n tutarlı olmaya devam eder ve MLE'lerin asimptotik etkinlik özelliği bozulmaz.

Step-by-Step Solution

1
En çok olabilirlik tahmin edicilerinin değişmezlik (invariance) özelliğini uygula.
η=ln⁡(θ)\eta = \ln(\theta) için tahmin edici η^n=ln⁡(θ^n)\hat{\eta}_n = \ln(\hat{\theta}_n) olarak bulunur.
Değişmezlik özelliği, her türlü fonksiyon için MLE'nin doğrudan fonksiyonda yerine konulmasıyla bulunacağını belirtir.
2
Dönüştürülmüş parametrenin tutarlılığını değerlendir.
θ^n\hat{\theta}_n tutarlı ve g(θ)=ln⁡(θ)g(\theta) = \ln(\theta) sürekli bir fonksiyon olduğundan, η^n\hat{\eta}_n de tutarlıdır.
Sürekli Dönüşüm Teoremi (Continuous Mapping Theorem) gereği, tutarlı bir tahmin edicinin sürekli bir fonksiyonu da parametrenin o fonksiyonu için tutarlı bir tahmin edicidir.
3
Delta metodu ile asimptotik varyansı hesapla.
g(θ)=ln⁡(θ)g(\theta) = \ln(\theta) için g′(θ)=1/θg'(\theta) = 1/\theta olur. Asimptotik varyans [g′(θ)]2⋅1nI(θ)=1θ2nI(θ)[g'(\theta)]^2 \cdot \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{\theta^2 n I(\theta)} olarak bulunur.
MLE'lerin asimptotik varyansı Fisher bilgi miktarının tersidir ve Delta metodu kullanılarak dönüşümlerin varyansı asıl varyansın fonksiyonun türevinin karesiyle çarpılması sonucu elde edilir.

Key Concept

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinde Değişmezlik ve Asimptotik Dağılım
Rate this question

Topics

En Çok Olabilirlik Tahmin Edicilerinin Asimptotik Özellikleri ve Değişmezliği (Invariance)

More questions from this topic