Examkin

Question

Difficulty: EasyBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir belediye, sunduğu temizlik hizmetlerinden vatandaşların memnuniyet oranını (θ\theta) tahmin etmek istemektedir. θ\theta parametresi için önsel (prior) dağılım Beta(1,1)Beta(1, 1) olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen n=8n=8 vatandaştan x=3x=3 tanesinin hizmetlerden memnun olduğu gözlemlenmiştir. Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığına göre, θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi kaçtır?

  1. A
    0,30
  2. B
    0,375
  3. 0,40Answer
  4. D
    0,50
  5. E
    0,60

Answer

Bayes tahmin edicisi 0,40 olarak hesaplanır.
Verilen Beta(1,1)Beta(1, 1) önsel dağılımı ve n=8,x=3n=8, x=3 verisiyle sonsal dağılım Beta(4,6)Beta(4, 6) olarak elde edilir. Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisi bu dağılımın ortalaması olan 4/(4+6)=0,44 / (4+6) = 0,4 değerine eşittir.

Step-by-Step Solution

1
Önsel dağılım ve olabilirlik fonksiyonunun belirlenmesi
Önsel: θ∼Beta(α=1,β=1)\theta \sim Beta(\alpha=1, \beta=1), Veri: n=8,x=3n=8, x=3.
Beta-Binom eşlenik önsel yapısını kullanabilmek için parametrelerin tanımlanması gerekir.
2
Sonsal (posterior) dağılımın parametrelerinin hesaplanması
α′=α+x=1+3=4\alpha' = \alpha + x = 1 + 3 = 4 ve β′=β+n−x=1+8−3=6\beta' = \beta + n - x = 1 + 8 - 3 = 6.
Beta önsel ve Binom olabilirlik durumunda sonsal dağılım Beta(α+x,β+n−x)Beta(\alpha+x, \beta+n-x) olur.
3
Karesel hata kaybı altında Bayes tahmin edicisinin bulunması
θ^Bayes=E[θ∣x]=α′α′+β′=44+6=410=0,40\hat{\theta}_{Bayes} = E[\theta | x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{4}{4+6} = \frac{4}{10} = 0,40.
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine (ortalamasına) eşittir.

Key Concept

Beta-Binom eşlenik yapısında Bayes tahmini, önsel bilgi ile örneklem verisinin ağırlıklı ortalaması şeklinde hesaplanır.

Practice More

Mutlak hata kayıp fonksiyonu (absolute error loss) kullanılsaydı Bayes tahmin edicisi olarak sonsal dağılımın medyanının hesaplanması gerektiğini unutmayın.
Estimated Time:45s
Rate this question

Topics

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

More questions from this topic