Bir kimyasal sürecin reaksiyon süresi X (dakika), ortalaması \mu ve varyansı \sigma^2 = 10… — KPSS İstatistik

Bir kimyasal sürecin reaksiyon süresi $X$ (dakika), ortalaması $\mu$ ve varyansı $\sigma^2 = 10$ olan normal dağılıma uymaktadır. $\mu$ parametresi için önsel (prior) dağılımın, ortalaması $40$ ve varyansı $5$ olan normal dağılım olduğu varsayılmaktadır.

Bu süreçten bağımsız olarak gözlemlenen $n = 8$ farklı reaksiyonun ortalama süresi $\bar{x} = 45$ dakika olarak elde edilmiştir.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) kullanıldığında $\mu$ parametresinin Bayes tahmini aşağıdakilerden hangisidir?

A
40
B
41
C
42.5
44Answer
E
45

Answer

Karesel hata kayıp fonksiyonu (squared error loss) söz konusu olduğunda

\mu

parametresinin Bayes tahmini, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. Normal önsel ve normal örneklem dağılımının olduğu eşlenik (conjugate) modellerde sonsal ortalama, önsel ortalama ile örneklem ortalamasının hassasiyet (varyansın tersi) ağırlıklı ortalaması olarak hesaplanır. Formül ile hesaplandığında bu değer

\frac{(1/5 \times 40) + (8/10 \times 45)}{1/5 + 8/10} = \frac{8 + 36}{1} = 44

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

Önsel dağılım ve örneklem parametrelerini belirle.

Önsel parametreler:

\mu \sim N(\theta_0 = 40, \tau^2 = 5)

. Örneklem parametreleri:

\sigma^2 = 10

n = 8

\bar{x} = 45

Sonsal dağılım parametrelerini hesaplamak için modeldeki bilinen tüm değerleri sistemli şekilde tanımlamak gerekir.

Karesel hata kayıp fonksiyonu altındaki hedefi belirle.

Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir (

E[\mu | \bar{x}]

Karesel hata kayıp fonksiyonu (MSE) kullanıldığında, beklenen riski minimum yapan değer matematiksel olarak her zaman sonsal dağılımın ortalamasına eşittir.

Önsel dağılımın ve örneklem verisinin hassasiyet (precision) değerlerini hesapla.

Önsel hassasiyet

= 1/\tau^2 = 1/5 = 0.2

. Örneklem hassasiyeti (bilgi miktarı)

= n/\sigma^2 = 8/10 = 0.8

Normal-Normal modelinde sonsal ortalama, bu hassasiyetlerin ağırlık olarak kullanıldığı bir doğrusal birleşimdir.

Sonsal dağılımın ortalamasını hesapla.

\mu_1 = \frac{(0.2 \times 40) + (0.8 \times 45)}{0.2 + 0.8} = \frac{8 + 36}{1} = 44

Sonsal ortalama formülü, önceden sahip olunan bilgi ile veriden gelen yeni bilgiyi güvenilirliklerine (hassasiyetlerine) göre birleştirir.

Key Concept

Normal Dağılım için Bayes Tahmini (Normal-Normal Eşlenik Model)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic