Examkin

Question

Difficulty: MediumBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir kamu bankası, kullandırdığı kredilerin temerrüde düşme olasılığı olan pp'yi tahmin etmek için nn hacimli büyük bir rastgele örneklem alıyor. Kredinin temerrüde düşmesi durumunda Xi=1X_i = 1, aksi halde Xi=0X_i = 0 (i=1,2,…,ni = 1, 2, \dots, n) olarak tanımlanıyor ve Xi∼Bernoulli(p)X_i \sim \text{Bernoulli}(p) olduğu varsayılıyor.

Banka risk analistleri, sadece temerrüt olasılığını değil, aynı zamanda temerrüde düşme riskinin oransal göstergesi (odds) olan θ=p1−p\theta = \frac{p}{1-p} parametresinin tahminini de önemsemektedir. p^=Xˉ\hat{p} = \bar{X} olmak üzere, Delta (Türev) yöntemi kullanılarak θ\theta parametresi için oluşturulacak 100(1−α)%100(1-\alpha)\% asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ1−Xˉ±zα/2Xˉn(1−Xˉ)3\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}}Answer
  2. B
    Xˉ1−Xˉ±tn−1,α/2Xˉn(1−Xˉ)3\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm t_{n-1, \alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}}
  3. C
    Xˉ1−Xˉ±zα/2Xˉ(1−Xˉ)n\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}(1-\bar{X})}{n}}
  4. D
    Xˉ1−Xˉ±zα/2Xˉn(1−Xˉ)\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})}}
  5. E
    Xˉ1−Xˉ±zα/2Xˉn(1−Xˉ)3\frac{\bar{X}}{1-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \frac{\bar{X}}{n(1-\bar{X})^3}

Answer

Delta yöntemiyle doğru asimptotik varyansın karekökünü içeren standart hata ifadesidir.
Doğru cevap, Delta yöntemi adımlarının eksiksiz uygulandığı seçenektir. Merkezi Limit Teoremi'ne göre Xˉ\bar{X}'in varyansı p(1−p)/np(1-p)/n'dir. θ=g(p)=p/(1−p)\theta = g(p) = p/(1-p) fonksiyonunun pp'ye göre türevi bölümün türevi kuralından g′(p)=1/(1−p)2g'(p) = 1/(1-p)^2 olarak bulunur. Delta yöntemi gereği, dönüştürülmüş tahmin edicinin asimptotik varyansı [g′(p)]2Var(Xˉ)=1(1−p)4p(1−p)n=pn(1−p)3[g'(p)]^2 Var(\bar{X}) = \frac{1}{(1-p)^4} \frac{p(1-p)}{n} = \frac{p}{n(1-p)^3} olur. Güven aralığı oluşturulurken bu varyansın karekökü (standart hata) alınır ve büyük örneklem olduğu için ZZ dağılımı kritik değeri (zα/2z_{\alpha/2}) ile çarpılır. Parametre yerine örneklem oranı (Xˉ\bar{X}) konulduğunda doğru asimptotik aralık elde edilir.

Step-by-Step Solution

1
Örneklem oranının asimptotik dağılımını belirlemek.
Merkezi Limit Teoremi gereği n(Xˉ−p)→dN(0,p(1−p))\sqrt{n}(\bar{X} - p) \xrightarrow{d} N(0, p(1-p)) elde edilir.
Büyük örneklemlerde örneklem ortalaması, beklenen değer etrafında normal dağılıma yakınsar.
2
Dönüşüm fonksiyonunu ve türevini hesaplamak.
g(p)=p1−pg(p) = \frac{p}{1-p} fonksiyonunun türevi g′(p)=1⋅(1−p)−p⋅(−1)(1−p)2=1(1−p)2g'(p) = \frac{1 \cdot (1-p) - p \cdot (-1)}{(1-p)^2} = \frac{1}{(1-p)^2} olarak bulunur.
Delta yöntemini uygulayabilmek için parametrenin fonksiyonunun türevine ihtiyaç vardır.
3
Delta yöntemini kullanarak asimptotik varyansı hesaplamak.
Var(g(Xˉ))≈[g′(p)]2Var(X)n=(1(1−p)2)2p(1−p)n=pn(1−p)3Var(g(\bar{X})) \approx [g'(p)]^2 \frac{Var(X)}{n} = \left(\frac{1}{(1-p)^2}\right)^2 \frac{p(1-p)}{n} = \frac{p}{n(1-p)^3} elde edilir.
Dönüştürülmüş parametrenin asimptotik varyansı, orijinal varyans ile türevin karesinin çarpılmasıyla bulunur.
4
Asimptotik güven aralığı formülünü oluşturmak.
Bilinmeyen pp yerine tutarlı tahmin edicisi Xˉ\bar{X} konularak asimptotik aralık g(Xˉ)±zα/2Var^(g(Xˉ))g(\bar{X}) \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\hat{Var}(g(\bar{X}))} şeklinde yazılır.
Büyük örneklemlerde Z tablosu kullanılarak asimptotik normal dağılım üzerinden çift yönlü güven aralığı kurulur.

Key Concept

Delta Yöntemi ile Asimptotik Güven Aralığı
Estimated Time:2m 0s
Rate this question

Topics

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

More questions from this topic