Examkin

Question

Difficulty: MediumTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

İleri teknoloji bir yalıtım malzemesinin mikroskobik gözenek çapları XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=2θx3e−θx2,x>0 f(x; \theta) = \frac{2\theta}{x^3} e^{-\frac{\theta}{x^2}}, \quad x > 0

Bu dağılımdan alınan nn birimlik rastgele bir örneklem (X1,X2,…,Xn)(X_1, X_2, \dots, X_n) olsun.

Buna göre, dağılım üstel aile (exponential family) formunda ifade edildiğinde, doğal (kanonik) parametresi ve bu parametreye karşılık gelen tam (complete) yeterli istatistik aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

  1. A
    Doğal parametre: −1θ-\frac{1}{\theta}, Tam yeterli istatistik: ∑i=1nXi2\sum_{i=1}^n X_i^2
  2. B
    Doğal parametre: θ\theta, Tam yeterli istatistik: ∑i=1n1Xi2\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i^2}
  3. C
    Doğal parametre: −θ-\theta, Tam yeterli istatistik: ∑i=1n1Xi\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i}
  4. Doğal parametre: −θ-\theta, Tam yeterli istatistik: ∑i=1n1Xi2\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i^2}Answer
  5. E
    Doğal parametre: ln⁡θ\ln \theta, Tam yeterli istatistik: ∏i=1nXi−2\prod_{i=1}^n X_i^{-2}

Answer

Doğru seçenek, doğal parametrenin −θ-\theta ve tam yeterli istatistiğin ∑i=1n1Xi2\sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i^2} olarak verildiği seçenektir.
Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formuna f(x;θ)=h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)t(x))f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)t(x)) şeklinde dönüştürüldüğünde; h(x)=2x3h(x) = \frac{2}{x^3}, c(θ)=θc(\theta) = \theta, w(θ)=−θw(\theta) = -\theta ve t(x)=1x2t(x) = \frac{1}{x^2} elde edilir. Doğal parametre w(θ)=−θw(\theta) = -\theta'dır. nn çaplı örneklem için ortak yoğunluk fonksiyonu yazıldığında, exp⁡(−θ∑i=1n1xi2)\exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i^2}\right) terimi ortaya çıkar. Doğal parametre uzayı (−∞,0)(-\infty, 0) olup bir açık aralık içerdiğinden, üstel aile teoremi gereği T=∑i=1n1Xi2T = \sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i^2} tam ve yeterli istatistiktir.

Step-by-Step Solution

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formuna (exponential family form) dönüştür.
f(x;θ)=2x3⋅θ⋅exp⁡(−θ1x2)f(x; \theta) = \frac{2}{x^3} \cdot \theta \cdot \exp\left(-\theta \frac{1}{x^2}\right)
Bir dağılımın üstel aileye ait olduğunu göstermek ve kanonik bileşenlerini belirlemek için f(x;θ)=h(x)c(θ)exp⁡(w(θ)t(x))f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp(w(\theta)t(x)) formatına getirmek gerekir.
2
Doğal (kanonik) parametreyi tanımla.
w(θ)=−θw(\theta) = -\theta
Üstel fonksiyondaki salt parametreye bağlı çarpan, üstel ailenin doğal parametresini ifade eder.
3
nn birimlik rastgele örneklem için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu üzerinden yeterli istatistiği belirle.
T=∑i=1nt(Xi)=∑i=1n1Xi2T = \sum_{i=1}^n t(X_i) = \sum_{i=1}^n \frac{1}{X_i^2}
Üstel aile formunda üstel ifadenin içindeki veriye bağlı terimlerin toplamı, Neyman çarpanlara ayırma teoremine göre ortak yeterli istatistiktir.
4
Yeterli istatistiğin tam (complete) olma durumunu kontrol et.
Parametre uzayı olan (−∞,0)(-\infty, 0) açık bir aralık içerdiğinden TT tam yeterli istatistiktir.
Düzenli (regular) üstel ailelerde doğal parametre uzayı reel sayılarda bir açık aralık içeriyorsa, bu aileye karşılık gelen yeterli istatistik aynı zamanda tamdır.

Key Concept

Üstel Aile Formu ve Tam Yeterli İstatistik
Rate this question

Topics

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

More questions from this topic