Examkin

Question

Difficulty: HardTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler
Bir çevresel izleme sisteminde ölçülen belirli bir kirleticinin yoğunluğu XX rassal değişkeni ile ifade edilmektedir. XX'in dağılımı, olasılık yoğunluk fonksiyonu
f(x;μ,σ2)=1x2πσ2exp⁡(−(ln⁡x−μ)22σ2),x>0 f(x; \mu, \sigma^2) = \frac{1}{x \sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp\left( -\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right), \quad x > 0
olan iki parametreli Lognormal dağılımdır. Burada μ∈R\mu \in \mathbb{R} ve σ2>0\sigma^2 > 0 bilinmeyen parametrelerdir. Bu dağılımdan çekilen nn birimlik bağımsız rastgele bir örneklem X=(X1,X2,…,Xn)\mathbf{X} = (X_1, X_2, \dots, X_n) olarak alınmıştır.

Bu modelin üstel aile özellikleri ve parametre tahminine yönelik tamlık (completeness) kavramı dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Dağılım, kanonik parametreleri η1=μσ2\eta_1 = \frac{\mu}{\sigma^2} ve η2=−12σ2\eta_2 = -\frac{1}{2\sigma^2} olan bir üstel ailedir; bu parametrelerin uzayı R2\mathbb{R}^2'de bir açık küme içerdiğinden T=(∑i=1nln⁡Xi,∑i=1n(ln⁡Xi)2)T = \left( \sum_{i=1}^n \ln X_i, \sum_{i=1}^n (\ln X_i)^2 \right) istatistiği ortak yeterli ve tamdır.Answer
  2. B
    Dağılımın kanonik parametreleri η1=μσ2\eta_1 = \frac{\mu}{\sigma^2} ve η2=−12σ2\eta_2 = -\frac{1}{2\sigma^2} aralarında cebirsel olarak bağımlı olduğu için model eğrisel üstel yapıdadır ve tamlık garanti edilemez.
  3. C
    Olasılık yoğunluk fonksiyonunda yer alan 1x\frac{1}{x} çarpanı, rastgele değişkene bağlı olduğu için dağılımın üstel aile formuna dönüşmesini engeller; dolayısıyla modele ait tam (complete) bir istatistik bulunamaz.
  4. D
    Dağılım, kanonik parametreleri η1=μ\eta_1 = \mu ve η2=σ2\eta_2 = \sigma^2 olan bir üstel ailedir; parametre uzayı kısıtlı olmadığından T=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) istatistiği ortak yeterli ve tamdır.
  5. E
    Dağılımın kanonik parametreleri η1=μσ2\eta_1 = \frac{\mu}{\sigma^2} ve η2=−12σ2\eta_2 = -\frac{1}{2\sigma^2} şeklindedir; fakat η2\eta_2 her zaman negatif olduğundan dolayı tüm gerçel sayıları kapsamaz ve Lehmann-Scheffe teoremine göre aranan tamlık şartı sağlanmaz.

Answer

Doğru cevap, dağılımın kanonik parametrelerinin η1=μσ2\eta_1 = \frac{\mu}{\sigma^2} ile η2=−12σ2\eta_2 = -\frac{1}{2\sigma^2} olduğunu ve parametre uzayının bir açık küme içermesi nedeniyle (∑ln⁡Xi,∑(ln⁡Xi)2)\left( \sum \ln X_i, \sum (\ln X_i)^2 \right) istatistiğinin tam olduğunu belirten seçenektir.
Lognormal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu düzenlendiğinde f(x)=h(x)c(μ,σ2)exp⁡(η1T1+η2T2)f(x) = h(x)c(\mu,\sigma^2)\exp(\eta_1 T_1 + \eta_2 T_2) formatına gelir. Burada h(x)=1/xh(x) = 1/x, η1=μ/σ2\eta_1 = \mu/\sigma^2, η2=−1/(2σ2)\eta_2 = -1/(2\sigma^2), T1=ln⁡xT_1 = \ln x ve T2=(ln⁡x)2T_2 = (\ln x)^2'dir. μ∈R\mu \in \mathbb{R} ve σ2>0\sigma^2 > 0 olduğundan, (η1,η2)(\eta_1, \eta_2) uzayı R×(−∞,0)\mathbb{R} \times (-\infty, 0) alanına yayılır. Bu uzay R2\mathbb{R}^2'de 2 boyutlu bir açık alan (iç noktası olan küme) oluşturduğu için dağılım tam ranklı (full rank) bir üstel ailedir. Bu teoremin doğal bir sonucu olarak, (∑ln⁡Xi,∑(ln⁡Xi)2)( \sum \ln X_i, \sum (\ln X_i)^2 ) ortak istatistiği hem yeterli hem de tamdır (complete).

Step-by-Step Solution

1
Lognormal dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile formuna dönüştürmek.
f(x)=12πσ2exp⁡(−μ22σ2)⋅1x⋅exp⁡(μσ2ln⁡x−12σ2(ln⁡x)2)f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp(-\frac{\mu^2}{2\sigma^2}) \cdot \frac{1}{x} \cdot \exp\left( \frac{\mu}{\sigma^2} \ln x - \frac{1}{2\sigma^2}(\ln x)^2 \right)
Yeterli istatistikleri ve kanonik (doğal) parametreleri belirlemek için fonksiyonun doğru matematiksel formda ayrıştırılması gerekir.
2
Kanonik parametreleri (η\eta) ve bunlara karşılık gelen istatistikleri (TT) tanımlamak.
η1=μσ2\eta_1 = \frac{\mu}{\sigma^2}, η2=−12σ2\eta_2 = -\frac{1}{2\sigma^2} ve T1(x)=ln⁡xT_1(x) = \ln x, T2(x)=(ln⁡x)2T_2(x) = (\ln x)^2 bulunur.
Bu dağılımdan alınacak nn çaplı örneklem için ortak yeterli istatistik vektörünün T=(∑ln⁡Xi,∑(ln⁡Xi)2)T = \left( \sum \ln X_i, \sum (\ln X_i)^2 \right) olduğunu netleştirmek için.
3
Doğal parametre uzayının tamlık (completeness) için gereken 'açık küme (open set)' şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
μ∈R\mu \in \mathbb{R} ve σ2>0\sigma^2 > 0 olduğu için (η1,η2)(\eta_1, \eta_2) uzayı R×(−∞,0)\mathbb{R} \times (-\infty, 0) olur. Bu alan R2\mathbb{R}^2'de bir açık dikdörtgen içerir ve parametreler birbirinden bağımsız değişebilir.
Lehmann-Scheffe teoremine uzanan süreçte tam ranklı üstel ailelerde tamlık özelliğinin geçerli olabilmesi için parametre uzayının iç noktaya sahip olması şarttır.

Key Concept

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler
Rate this question

Topics

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

More questions from this topic