Examkin

Question

Difficulty: HardBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine belirli bir zaman diliminde gelen çağrı sayılarının λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uyduğu varsayılmaktadır. Bu sistemi incelemek amacıyla rastgele seçilen nn farklı zaman dilimi için (örneklem çapının yeterince büyük olduğu varsayımıyla) gelen çağrı sayıları X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n olarak gözlemlenmiş ve örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olarak bulunmuştur.

Buna göre, herhangi bir zaman diliminde hiç çağrı gelmeme olasılığının en çok olabilirlik (MLE) tahmin edicisi kullanılarak oluşturulacak asimptotik (1−α)(1-\alpha) güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. e−Xˉ±zα/2e−XˉXˉne^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}Answer
  2. B
    e−Xˉ±zα/2e−Xˉ(1−e−Xˉ)ne^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{e^{-\bar{X}}(1-e^{-\bar{X}})}{n}}
  3. C
    e−Xˉ±tn−1,α/2e−XˉXˉne^{-\bar{X}} \pm t_{n-1, \alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}
  4. D
    Xˉ±zα/2Xˉn\bar{X} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}}
  5. E
    e−Xˉ±zα/2e−2XˉXˉne^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-2\bar{X}} \frac{\bar{X}}{n}

Answer

e−Xˉ±zα/2e−XˉXˉne^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}} ifadesi, hiç çağrı gelmeme olasılığı için doğru asimptotik güven aralığıdır.
Doğru aralık, hedef parametrenin değişmezlik özelliği ile bulunan e−Xˉe^{-\bar{X}} tahmin edicisini ve Delta metodu ile türetilmiş standart hata formülü olan e−XˉXˉne^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}} değerini ZZ istatistiği ile birleştiren seçenektir.

Step-by-Step Solution

1
İlgilenilen parametreyi ve fonksiyonunu tanımlayın.
X∼Poisson(λ)X \sim Poisson(\lambda) olduğundan, hiç çağrı gelmeme olasılığı P(X=0)=e−λλ00!=e−λP(X=0) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^0}{0!} = e^{-\lambda} şeklindedir.
Güven aralığı oluşturulacak asıl hedef parametre τ(λ)=e−λ\tau(\lambda) = e^{-\lambda}'dır.
2
En Çok Olabilirlik (MLE) tahmin edicisini bulun.
Poisson dağılımında λ\lambda'nın MLE'si λ^=Xˉ\hat{\lambda} = \bar{X}'tir. MLE'nin değişmezlik (invariance) özelliği gereği, τ(λ)\tau(\lambda)'nın MLE'si τ^=e−Xˉ\hat{\tau} = e^{-\bar{X}} olur.
Asimptotik güven aralığının merkezi, hedef parametrenin MLE noktası olmalıdır.
3
Delta Metodu ile tahmin edicinin asimptotik varyansını hesaplayın.
Xˉ\bar{X}'in varyansı λ/n\lambda/n'dir. g(λ)=e−λg(\lambda) = e^{-\lambda} fonksiyonu için g′(λ)=−e−λg'(\lambda) = -e^{-\lambda} olur. Asimptotik Varyans ≈[g′(λ)]2×Var(Xˉ)=(−e−λ)2×λn=e−2λλn\approx [g'(\lambda)]^2 \times Var(\bar{X}) = (-e^{-\lambda})^2 \times \frac{\lambda}{n} = e^{-2\lambda}\frac{\lambda}{n} olarak bulunur.
Orijinal tahmin edicinin bilinen asimptotik dağılımından yola çıkarak, bu parametrenin bir fonksiyonunun asimptotik dağılımını (ve varyansını) bulmak için Delta Metodu kullanılır.
4
Standart hatayı bularak asimptotik güven aralığını oluşturun.
Standart hata SE(τ^)=e−2λλn=e−λλnSE(\hat{\tau}) = \sqrt{e^{-2\lambda}\frac{\lambda}{n}} = e^{-\lambda}\sqrt{\frac{\lambda}{n}}'dir. λ\lambda yerine λ^=Xˉ\hat{\lambda}=\bar{X} konularak tahmini standart hata bulunur ve aralık: τ^±zα/2SE(τ^)⇒e−Xˉ±zα/2e−XˉXˉn\hat{\tau} \pm z_{\alpha/2} SE(\hat{\tau}) \Rightarrow e^{-\bar{X}} \pm z_{\alpha/2} e^{-\bar{X}} \sqrt{\frac{\bar{X}}{n}} olarak elde edilir.
Büyük örneklemlerde tahmin edici asimptotik olarak normal dağılıma yakınsadığı için Z kritik değeri kullanılır.

Key Concept

Delta Metodu ve MLE'nin Asimptotik Dağılımı
Rate this question

Topics

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

More questions from this topic