Bir elektronik firması, ürettiği iki farklı akıllı telefon modelinin (A ve B) batarya ömür… — KPSS İstatistik

Bir elektronik firması, ürettiği iki farklı akıllı telefon modelinin (A ve B) batarya ömürlerini karşılaştırmak istemektedir. Bu amaçla, A modelinden 12 ve B modelinden 6 adet telefon rastgele seçilmiş ve tam şarjlı durumdayken batarya ömürleri ölçülmüştür. Elde edilen veriler aşağıda verilmiştir:

Model	Örneklem Çapı ( $n$ )	Örneklem Ortalaması ( $\bar{X}$ )	Örneklem Varyansı ( $S^2$ )
A	12	45	21
B	6	37	5

İki kitle varyansının bilinmediği ancak birbirine eşit olduğu ( $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ ) ve kitlelerin normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, iki modelin batarya ömürleri arasındaki farkın ( $\mu_A - \mu_B$ ) %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: $t_{0.025; 16} = 2,120$ , $t_{0.025; 17} = 2,110$ , $t_{0.025; 18} = 2,101$ , $Z_{0.025} = 1,96$ alınız.)

A
$[4,59; 11,41]$
$[3,76; 12,24]$ Answer
C
$[4,08; 11,92]$
D
$[3,80; 12,20]$
E
$[-0,48; 16,48]$

Answer

İki modelin batarya ömürleri arasındaki farkın %95 güven aralığı

[3,76; 12,24]

olarak hesaplanan seçenektir.

İki kitle varyansı birbirine eşit ve bilinmiyor olarak varsayıldığında, her iki örneklemden elde edilen bilgiyi birleştiren ortak varyans (

S_p^2

) hesaplanmalıdır. Ortak varyans

16

olarak bulunur. Serbestlik derecesi

n_A + n_B - 2 = 16

olup ilgili

t

tablo değeri

2,120

'dir. Standart hata

\sqrt{16(1/12+1/6)} = 2

olur. Formül yerine konulduğunda aralık

(45-37) \pm 2,120 \times 2 = 8 \pm 4,24

işleminden

[3,76; 12,24]

olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Kitle varyansları bilinmediği ve birbirine eşit olduğu varsayıldığı için ortak (havuzlanmış) varyans (

S_p^2

) hesaplanır.

S_p^2 = \frac{(n_A-1)S_A^2 + (n_B-1)S_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11(21) + 5(5)}{16} = \frac{231 + 25}{16} = 16

Varyansların homojenliği (eşitliği) varsayımı altında, her iki örneklemden elde edilen varyans bilgisi birleştirilerek kitle varyansı için daha iyi bir tahmin elde edilir.

İki örneklem ortalaması arasındaki farkın standart hatası (

SE

) hesaplanır.

SE = \sqrt{S_p^2 \left(\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B}\right)} = \sqrt{16 \left(\frac{1}{12} + \frac{1}{6}\right)} = \sqrt{16 \times \frac{3}{12}} = \sqrt{4} = 2

Güven aralığı oluşturulurken nokta tahmininin ne kadar değişkenlik gösterebileceğini belirlemek için standart hata gereklidir.

Serbestlik derecesi (

df

) belirlenerek %95 güven düzeyi için uygun kritik tablo değeri (

t_{\alpha/2}

) bulunur.

df = 12 + 6 - 2 = 16

, bu serbestlik derecesi için

t_{0.025; 16} = 2,120

olarak alınır.

Kitle varyansları bilinmediğinde ve örneklemlerden tahmin edildiğinde, test istatistiği

t

-dağılımına uyar.

Ortalamalar arası farkın nokta tahmini hesaplanır ve hata payı (ME) ile güven aralığı formülü uygulanır.

Fark =

45 - 37 = 8

. Güven aralığı:

8 \pm (2,120 \times 2) = 8 \pm 4,24 = [3,76; 12,24]

Nokta tahmini etrafında, standart hata ve kritik değerin çarpımı kadar bir hata payı bırakılarak aralık elde edilir.

Key Concept

İki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Ortak Varyans (Pooled Variance) Yaklaşımı ve T-Dağılımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic