Examkin

Question

Difficulty: Very hardTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n (n>1n > 1) bağımsız ve aynı dağılımlı rasgele örneklemi, beklenen değeri θ\theta ve varyansı θ2\theta^2 olan normal dağılımdan (Xi∼N(θ,θ2)X_i \sim N(\theta, \theta^2)) alınmıştır. Burada θ∈(0,∞)\theta \in (0, \infty) bilinmeyen bir parametredir.

Bu dağılıma ait olabilirlik fonksiyonu dikkate alındığında, T=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T = \left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2 \right) ortak istatistiğinin yeterlilik (sufficiency) ve tamlık (completeness) özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

  1. A
    TT, θ\theta için hem yeterli hem de tam bir istatistiktir; çünkü dağılım, ortak yeterli istatistiği TT olan iki parametreli üstel aile formunda yazılabilmektedir.
  2. B
    Varyans parametresi de θ\theta'ya bağlı olduğu için TT istatistiği ortak yeterli değildir; bu dağılımda yalnızca ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i istatistiği yeterli ve tam bir istatistiktir.
  3. TT, θ\theta için yeterli bir istatistiktir ancak doğal parametre uzayı iki boyutlu bir açık bölge içermediği için tam (complete) bir istatistik değildir.Answer
  4. D
    TT, θ\theta için yeterli bir istatistiktir ancak varyansı minimum olan yansız ve tutarlı bir tahmin edici elde edilemediği için tam (complete) olması imkânsızdır.
  5. E
    Varyans ve beklenen değer aynı parametreye (θ\theta) bağlı olduğundan dağılım üstel aile formunda ifade edilemez; bu sebeple TT'nin tamlığından matematiksel olarak söz edilemez.

Answer

Doğru cevap, TT istatistiğinin yeterli olduğu ancak doğal parametre uzayının bir açık dikdörtgen içermemesi (kıvrımlı üstel aile olması) sebebiyle tam (complete) olmadığı seçenektir.
Dağılım incelendiğinde bir kıvrımlı üstel aile (curved exponential family) olduğu görülür. Ortak yeterli istatistik T=(∑i=1nXi,∑i=1nXi2)T = \left(\sum_{i=1}^n X_i, \sum_{i=1}^n X_i^2\right) olarak bulunur. Ancak dağılımın doğal parametreleri olan w1(θ)=1θw_1(\theta) = \frac{1}{\theta} ve w2(θ)=−12θ2w_2(\theta) = -\frac{1}{2\theta^2} arasında w2=−12w12w_2 = -\frac{1}{2}w_1^2 şeklinde deterministik bir ilişki vardır. Bu bağıntı sebebiyle parametre uzayı iki boyutlu bir açık alan (open rectangle) içermez, sadece bir eğriden ibarettir. Bu durum, üstel ailelerdeki tamlık teoreminin açık uzay önkoşulunu bozar. Nitekim E[(n+1)∑i=1nXi2−2(∑i=1nXi)2]=0E\left[(n+1)\sum_{i=1}^n X_i^2 - 2\left(\sum_{i=1}^n X_i\right)^2\right] = 0 eşitliği gösterir ki, TT'nin sıfırdan farklı bir fonksiyonunun beklenen değeri tüm θ\theta değerleri için sıfırdır. Tamlık tanımını bozan bu durum nedeniyle, yeterli olan bu istatistik tam (complete) değildir.

Step-by-Step Solution

1
Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonunu yazarak üstel aile formuna dönüştürmek.
f(x;θ)=12πθexp⁡(−x22θ2+xθ−12)f(x;\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\theta} \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta^2} + \frac{x}{\theta} - \frac{1}{2}\right) şeklinde ifade edilir.
Yeterli istatistiği bulmak ve tamlık analizini doğal parametreler üzerinden yapabilmek için denklemin üstel aile formunda incelenmesi gerekir.
2
Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile ortak yeterli istatistiği belirlemek.
Olabilirlik fonksiyonunda θ\theta'ya bağlı terimler ∑Xi\sum X_i ve ∑Xi2\sum X_i^2'yi içerdiğinden, ortak yeterli istatistik T=(∑Xi,∑Xi2)T = \left(\sum X_i, \sum X_i^2\right) olarak bulunur.
Yeterlilik (sufficiency) kavramı, örneklem bilgisinin bilinmeyen parametre hakkında hiçbir kayıp olmadan sıkıştırılabileceği istatistiği tanımlar.
3
Üstel ailenin doğal parametrelerini tanımlayıp uzayını analiz etmek.
Doğal parametreler w1=1θw_1 = \frac{1}{\theta} ve w2=−12θ2w_2 = -\frac{1}{2\theta^2}'dir. Doğal parametre uzayı R2\mathbb{R}^2'de w2=−12w12w_2 = -\frac{1}{2}w_1^2 eğrisini oluşturur.
Bir üstel ailede ortak yeterli istatistiğin tam (complete) olabilmesi için teorik olarak doğal parametre uzayının çok boyutlu bir açık bölge (dikdörtgen) içermesi koşulu incelenmelidir.
4
Tamlık tanımını ve parametre uzayı boyut koşulunu (açık bölge) değerlendirmek.
Doğal parametre uzayı R2\mathbb{R}^2'de yalnızca tek boyutlu bir parabolik eğri oluşturduğundan bu duruma 'kıvrımlı üstel aile' (curved exponential family) denir ve tamlık garantisi ortadan kalkar.
Teoremin boyut koşulu sağlanmadığı için doğrudan tamlık kararı verilemez, ispat yoluyla (beklenen değeri sıfır olan fonksiyonlar bularak) tamlığın olmadığı gösterilmelidir.
5
Beklenen değeri sıfır olan sıfırdan farklı bir fonksiyon yaratarak tamlığın ihlal edildiğini matematiksel olarak doğrulamak.
E[∑Xi2]=2nθ2E[\sum X_i^2] = 2n\theta^2 ve E[(∑Xi)2]=n(n+1)θ2E[(\sum X_i)^2] = n(n+1)\theta^2 olduğundan, g(T)=(n+1)∑Xi2−2(∑Xi)2g(T) = (n+1)\sum X_i^2 - 2(\sum X_i)^2 fonksiyonu yazılır. E[g(T)]=0E[g(T)] = 0 olmasına rağmen P(g(T)=0)≠1P(g(T)=0) \neq 1'dir.
Tamlığın katı tanımı gereği, her θ\theta için beklenen değeri sıfır olan fonksiyonların kendilerinin de 11 olasılıkla sıfır olması şarttır. g(T)g(T) bu kuralı ihlal ettiği için TT tam değildir.

Key Concept

Kıvrımlı Üstel Ailelerde (Curved Exponential Families) Yeterlilik ve Tamlık
Rate this question

Topics

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

More questions from this topic