Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetmeninin günlük saha denetimlerinde karşılaştığı kayı… — KPSS İstatistik

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) denetmeninin günlük saha denetimlerinde karşılaştığı kayıt dışı istihdam vaka sayısı, $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir.

$X$ değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu, $k$ bir sabit sayı olmak üzere aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

P(X=x) = \begin{cases} \frac{k \cdot x}{x+1}, & x \in \{1, 2, 3\} \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, denetmenin rastgele seçilen bir günde en az 2 kayıt dışı istihdam vakası ile karşılaşma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{6}{23}$
B
$\frac{8}{23}$
$\frac{17}{23}$ Answer
D
$\frac{12}{23}$
E
$\frac{14}{23}$

Answer

En az 2 vaka ile karşılaşma olasılığı \frac{17}{23}'tür.

Doğru sonuca ulaşmak için öncelikle fonksiyonun bir olasılık kütle fonksiyonu belirtmesi şartından (toplam olasılık = 1) hareketle k sabiti bulunmalıdır. x yerine 1, 2 ve 3 yazılarak elde edilen \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} toplamı 1'e eşitlendiğinde k = \frac{12}{23} bulunur. Soruda denetmenin en az 2 vaka ile karşılaşma olasılığı, yani P(X ≥ 2) sorulmaktadır. Bu durum, X=2 ve X=3 durumlarının olasılıklarının toplamına eşittir. Denklemde yerlerine konduğunda P(X=2) = \frac{8}{23} ve P(X=3) = \frac{9}{23} elde edilir. Bu iki değerin toplamı \frac{17}{23} sonucunu verir.

Step-by-Step Solution

Olasılık kütle fonksiyonunun (PMF) geçerli olabilmesi için tüm olasılıkların toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygula.

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1 denklemi kurulur.

Kesikli rastgele değişkenlerde örneklem uzayındaki tüm olası sonuçların olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

x değerlerini fonksiyonda yerine yazarak k sabitini hesapla.

\frac{k(1)}{2} + \frac{k(2)}{3} + \frac{k(3)}{4} = 1 \implies \frac{k}{2} + \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = 1 \implies k \left( \frac{6+8+9}{12} \right) = \frac{23k}{12} = 1 \implies k = \frac{12}{23}

Olasılık değerlerini hesaplayabilmek için öncelikle bilinmeyen k parametresinin bulunması gerekir.

İstenen 'en az 2 vaka' koşulu için P(X ≥ 2) olasılığını, k değerini kullanarak hesapla.

P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \frac{2k}{3} + \frac{3k}{4} = \frac{17k}{12} = \frac{17}{12} \times \frac{12}{23} = \frac{17}{23}

Soru 'en az 2' ifadesini kullandığı için X'in 2 ve 3 olduğu durumların olasılıkları toplanmalıdır.

Key Concept

Olasılık Kütle Fonksiyonunun Özellikleri ve Normalizasyon

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic