Examkin

Question

Difficulty: MediumTamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

Bir hidroloji uzmanı, belirli bir havzadaki barajların günlük doluluk oranlarını (0 ile 1 arasında) XX rassal değişkeni ile modellemektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

f(x;θ)=θxθ−1,0<x<1,θ>0f(x; \theta) = \theta x^{\theta-1}, \quad 0 < x < 1, \quad \theta > 0

Uzman, nn günlük rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alarak θ\theta parametresi için Lehmann-Scheffe teoremini kullanıp düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin ediciyi (UMVUE) elde etmek istemektedir.

Buna göre, dağılımın üstel aile (exponential family) özellikleri dikkate alındığında, Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için gereken 'tam (complete) ve yeterli' istatistik aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i)Answer
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X(n)X_{(n)}
  4. D
    −n∑i=1nln⁡(Xi)-\frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln(X_i)}
  5. E
    Xˉ1−Xˉ\frac{\bar{X}}{1 - \bar{X}}

Answer

İlgili olasılık dağılımının üstel aile formunda yazılması sonucunda elde edilen tam ve yeterli istatistik ∑i=1nln⁡(Xi)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) ifadesidir.
Olasılık yoğunluk fonksiyonu üstel aile formunda f(x;θ)=exp⁡(ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x)f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x) olarak yazılabilir. nn çaplı örneklem için ortak olabilirlik fonksiyonu f(x;θ)=θnexp⁡((θ−1)∑i=1nln⁡xi)f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right) halini alır. Bu formda doğal parametre η=θ−1\eta = \theta-1 ve buna eşlik eden istatistik T(X)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i'dir. θ∈(0,∞)\theta \in (0, \infty) olduğu için η\eta'nın tanım kümesi (−1,∞)(-1, \infty) açık aralığını kapsar. Üstel aile teoremlerine göre bu koşul sağlandığında elde edilen istatistik tam (complete) ve yeterli (sufficient) olur.

Step-by-Step Solution

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunu üstel aile (exponential family) formunda ifade edin.
f(x;θ)=exp⁡(ln⁡θ+(θ−1)ln⁡x)f(x; \theta) = \exp(\ln \theta + (\theta-1)\ln x)
Üstel aile formu, tam ve yeterli istatistiği doğrudan belirlememizi sağlayan matematiksel yapıyı ortaya çıkarır.
2
nn birimlik örneklem için ortak yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu oluşturun.
f(x;θ)=θnexp⁡((θ−1)∑i=1nln⁡xi)f(\mathbf{x}; \theta) = \theta^n \exp\left((\theta-1)\sum_{i=1}^n \ln x_i\right)
Örneklem çapına bağlı olarak istatistiğin örneklemdeki tüm verileri nasıl kullandığını görmek gereklidir.
3
Üstel aile teoremine göre doğal parametreyi ve karşılık gelen istatistiği belirleyip tamlık şartını kontrol edin.
Doğal parametre η=θ−1\eta = \theta-1 ve istatistik T(X)=∑i=1nln⁡XiT(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n \ln X_i'dir. θ>0\theta > 0 olduğundan η∈(−1,∞)\eta \in (-1, \infty) uzayı bir açık aralık içerir, bu da istatistiğin tam (complete) olduğunu kanıtlar.
Lehmann-Scheffe teoreminin uygulanabilmesi için istatistiğin hem yeterli hem de tam olması matematiksel bir zorunluluktur.

Key Concept

Üstel Ailelerde Tamlık ve Yeterlilik (Completeness and Sufficiency in Exponential Families)
Rate this question

Topics

Tamlık (Completeness) ve Üstel Aileler

More questions from this topic