Bir tarımsal araştırma enstitüsü, iki farklı buğday türünün hektar başına verim miktarları… — KPSS İstatistik

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, iki farklı buğday türünün hektar başına verim miktarlarını (ton cinsinden) incelemektedir. A türünün verimi $X$ ve B türünün verimi $Y$ bağımsız rastgele değişkenler olmak üzere, bu değişkenlerin moment çıkaran fonksiyonları sırasıyla aşağıdaki gibi verilmiştir:

M_X(t) = e^{20t + 2t^2}

M_Y(t) = e^{15t + \frac{9}{2}t^2}

Enstitü, genetik melezleme çalışmaları kapsamında $W = 2X - Y + 5$ dönüşümü ile tanımlanan yeni bir $W$ rastgele değişkeninin dağılımını elde etmiştir.

Buna göre, $W$ rastgele değişkeninin standart sapması kaçtır?

5Answer
B
7
C
$\sqrt{13}$
D
$\sqrt{17}$
E
25

Answer

Dönüşüm sonucu elde edilen rastgele değişkenin standart sapması 5'tir.

Doğru cevapta

W

değişkeninin moment çıkaran fonksiyonu

M_W(t) = e^{5t} M_X(2t) M_Y(-t)

eşitliğinden yararlanılarak bulunur. Normal dağılımın moment çıkaran fonksiyonu

M(t) = e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

formundadır.

M_X(t)

M_Y(t)

ifadelerinden

X

'in varyansı 4,

Y

'nin varyansı 9 olarak elde edilir.

W = 2X - Y + 5

dönüşümü sonucunda elde edilen

M_W(t) = e^{30t + 12{}5t^2}

fonksiyonundan

W

'nin varyansı 25, standart sapması ise

\sqrt{25} = 5

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

X

Y

değişkenlerinin varyanslarını MGF formülünden tespit etme

Normal dağılımın MGF'si

e^{\mu t + \frac{1}{2}\sigma^2 t^2}

şeklindedir. Buna göre

X

için

\frac{1}{2}\sigma_X^2 = 2 \implies \sigma_X^2 = 4

Y

için

\frac{1}{2}\sigma_Y^2 = \frac{9}{2} \implies \sigma_Y^2 = 9

bulunur.

MGF içerisindeki

t^2

'nin katsayısı

\frac{\sigma^2}{2}

'ye eşittir.

W = 2X - Y + 5

için moment çıkaran fonksiyonu oluşturma

X

Y

bağımsız olduğundan,

M_W(t) = e^{5t} \cdot M_X(2t) \cdot M_Y(-t)

eşitliği yazılır.

Bağımsız değişkenlerin doğrusal kombinasyonunun MGF'si, bireysel MGF'lerin çarpımı şeklinde türetilir.

M_W(t)

fonksiyonunu açıkça yazarak parametrelerini belirleme

M_X(2t) = e^{20(2t) + 2(2t)^2} = e^{40t + 8t^2}

M_Y(-t) = e^{15(-t) + \frac{9}{2}(-t)^2} = e^{-15t + \frac{9}{2}t^2}

olur. Çarpıldığında

M_W(t) = e^{(5+40-15)t + (8+4{}5)t^2} = e^{30t + 12{}5t^2}

elde edilir.

Doğrusal dönüşüm özellikleri MGF'nin içerisindeki

t

parametresine doğrudan yansıtılır.

W

'nin standart sapmasını elde edilen yeni MGF üzerinden hesaplama

M_W(t) = e^{30t + 12{}5t^2}

ifadesinde

\frac{1}{2}\sigma_W^2 = 12{}5

olduğundan

\sigma_W^2 = 25

bulunur. Standart sapma

\sigma_W = \sqrt{25} = 5

'tir.

Soruda varyans değil, standart sapma istenmektedir.

Key Concept

Moment Çıkaran Fonksiyonların Doğrusal Dönüşüm Altındaki Davranışı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics