Bir devlet hastanesinin acil servisinde, belirli bir tedavi prosedürünün standart tamamlan… — KPSS İstatistik

Bir devlet hastanesinin acil servisinde, belirli bir tedavi prosedürünün standart tamamlanma süresinden (dakika cinsinden) sapma miktarı $X$ kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-3$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$P(X=x)$	$0{}1$	$0{}2$	$0{}4$	$0{}2$	$0{}1$

Hastane yönetimi, sapmaların yarattığı operasyonel maliyeti analiz etmek için $Y = (X+1)^2$ şeklinde yeni bir performans kayıp değişkeni tanımlamıştır.

Buna göre, performans kayıp değişkeninin $4$ değerini alma olasılığı ile beklenen değerinin toplamı, yani $P(Y=4) + E(Y)$ toplamı kaçtır?

A
$1{}11$
B
$2{}50$
C
$2{}70$
$2{}80$ Answer
E
$3{}00$

Answer

2{}80

değerini veren seçenektir.

Doğru yanıt, dönüşüm sırasındaki mutlak değer (çift katlı kök) etkisini ve doğrusal olmayan fonksiyonların beklenen değerini doğru şekilde işleyen seçenektir. Soru iki aşamadan oluşmaktadır. İlk olarak,

Y = (X+1)^2 = 4

yapan değerler aranır. Bu eşitliği sağlayan değerler

X=1

X=-3

'tür. Bu değerlerin olasılıkları toplamı

P(Y=4) = 0{}2 + 0{}1 = 0{}3

olur. İkinci aşamada,

E(Y)

hesaplanmalıdır. İster LOTUS teoremi

E((X+1)^2)

üzerinden doğrudan hesaplansın, ister yeni

Y

dağılımı üzerinden

\sum y \cdot P(y)

yapılsın sonuç değişmez:

0\times0{}2 + 1\times0{}4 + 4\times0{}3 + 9\times0{}1 = 2{}5

elde edilir. İstenen toplam

0{}3 + 2{}5 = 2{}80

'dir.

Step-by-Step Solution

Y=4

olmasını sağlayan

X

değerlerini bulma.

(X+1)^2 = 4 \implies X+1 = 2

veya

X+1 = -2

. Buradan

X=1

X=-3

elde edilir.

Kesikli değişkenlerde karesel dönüşümler, birden fazla

x

değerini aynı

y

değerine eşleyebilir (çarpışma).

P(Y=4)

olasılığını hesaplama.

P(Y=4) = P(X=1) + P(X=-3) = 0{}2 + 0{}1 = 0{}3

olarak bulunur.

Aynı

Y

değerine karşılık gelen ayrık

X

durumlarının olasılıkları toplanmalıdır.

Y

değişkeninin olası diğer değerlerini ve olasılıklarını belirleme.

X=-1 \implies Y=0 \implies P(Y=0)=0{}2

X=0 \implies Y=1 \implies P(Y=1)=0{}4

X=2 \implies Y=9 \implies P(Y=9)=0{}1

Beklenen değeri hesaplamak için

Y

'nin olasılık fonksiyonuna veya LOTUS teoremine ihtiyaç vardır.

Y

değişkeninin beklenen değerini (

E(Y)

) hesaplama.

E(Y) = \sum y \cdot P(Y=y) = 0(0{}2) + 1(0{}4) + 4(0{}3) + 9(0{}1) = 0 + 0{}4 + 1{}2 + 0{}9 = 2{}5

Beklenen değer tanımı gereği, her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamı alınır.

Bulunan

P(Y=4)

E(Y)

değerlerini toplama.

0{}3 + 2{}5 = 2{}80

elde edilir.

Soru kökünde bu iki değerin toplamı istenmiştir.

Key Concept

Kesikli rastgele değişkenlerde karesel (bire-bir olmayan) dönüşümler ve beklenen değer özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics