Yeni geliştirilen bir batarya teknolojisinin dayanım süresi, \theta > 0 olmak üzere ortala… — KPSS İstatistik

Yeni geliştirilen bir batarya teknolojisinin dayanım süresi, $\theta > 0$ olmak üzere ortalaması $\theta$ olan üstel dağılım ile modellenmektedir. Kalite kontrol birimi, üretilen bataryalardan bağımsız $n$ tanesini teste tabi tutarak örneklem ortalamasını ( $\bar{X}$ ) hesaplamıştır.

Birim, $\theta$ parametresini tahmin etmek için karesel hata kayıp fonksiyonunu ( $L(\theta, T) = (T - \theta)^2$ ) kullanmaktadır. Tahmin edici olarak $T = c\bar{X}$ formunda bir sınıf belirlenmiştir.

Buna göre, risk fonksiyonunu tüm $\theta$ değerleri için en küçük yapan $c$ katsayısı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{n}{n+1}$ Answer
B
$1$
C
$n$
D
$\frac{1}{2}$
E
$\frac{n-1}{n}$

Answer

Risk fonksiyonunu en küçük yapan katsayı

\frac{n}{n+1}

değeridir.

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında risk fonksiyonu, Hata Kareler Ortalamasıdır (MSE). MSE formülü varyans ile yan miktarının karesinin toplamıdır. Verilen üstel dağılım için

Var(c\bar{X}) = c^2\theta^2/n

Bias = \theta(c-1)

olur. Bu iki bileşenin kareleri toplamı alınıp

c

'ye göre türevi alındığında ve sıfıra eşitlendiğinde, riski en küçük yapan optimal katsayı

\frac{n}{n+1}

olarak elde edilir.

Step-by-Step Solution

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında risk fonksiyonunun (MSE) formülünü tanımlayın.

R(\theta, T) = E[(T - \theta)^2] = Var(T) + [Bias(T)]^2

Risk, kayıp fonksiyonunun beklenen değeridir ve karesel kayıp için bu değer varyans ile yan miktarının karesinin toplamına eşdeğerdir.

Tahmin edici

T = c\bar{X}

için beklenen değer ve varyansı hesaplayın.

Üstel dağılımda

E[X] = \theta

Var(X) = \theta^2

olduğundan,

E[\bar{X}] = \theta

Var(\bar{X}) = \frac{\theta^2}{n}

olur. Buradan

E[c\bar{X}] = c\theta

Var(c\bar{X}) = c^2\frac{\theta^2}{n}

bulunur.

Riskin bileşenleri olan yan ve varyansı bulabilmek için istatistiğin dağılımsal özelliklerine ihtiyaç vardır.

T = c\bar{X}

tahmin edicisinin yan (bias) miktarını belirleyin.

Bias(T) = E[T] - \theta = c\theta - \theta = \theta(c - 1)

MSE formülündeki yan miktarının karesi bileşenini elde etmek için gereklidir.

Yan ve varyans değerlerini yerine koyarak risk fonksiyonunu

c

'ye bağlı bir denklem olarak yazın.

R(\theta, c\bar{X}) = c^2 \frac{\theta^2}{n} + \theta^2(c - 1)^2 = \theta^2 \left( \frac{c^2}{n} + c^2 - 2c + 1 \right) = \theta^2 \left( c^2 \frac{n+1}{n} - 2c + 1 \right)

Minimize edilecek olan asıl hedef fonksiyonunu oluşturmak hedeflenmektedir.

Risk fonksiyonunun

c

'ye göre türevini alıp sıfıra eşitleyerek minimum değeri veren katsayıyı bulun.

\frac{d}{dc} R = \theta^2 \left( 2c \frac{n+1}{n} - 2 \right) = 0 \implies 2c \frac{n+1}{n} = 2 \implies c = \frac{n}{n+1}

Fonksiyonun minimum noktasını bulmak için birinci türevi sıfıra eşitlenmelidir.

Key Concept

Karesel Kayıp Altında Risk Minimizasyonu (MSE)

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic