Examkin

Question

Difficulty: MediumLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir sigorta şirketine belirli bir saat diliminde gelen hasar ihbarlarının sayısı, parametresi λ>0\lambda > 0 olan Poisson dağılımına uymaktadır. Bu süreçten nn (n>1n > 1) saatlik rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n) alınmıştır.

Sigorta şirketi, rastgele seçilen belirli bir saatte tam olarak 1 (bir) adet hasar ihbarı gelme olasılığını tahmin etmek istemektedir. Kitleye ait bu olasılık P(X=1)=λe−λP(X = 1) = \lambda e^{-\lambda} formülü ile verilmektedir.

Buna göre, P(X=1)P(X = 1) parametresi için Lehmann-Scheffe teoremi kullanılarak elde edilen Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?
(Burada T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i yeterli ve tam istatistiği göstermektedir.)

  1. A
    (n−1n)T\left(\frac{n-1}{n}\right)^T
  2. B
    Tn(n−1n)T\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^T
  3. Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}Answer
  4. D
    Tne−T/n\frac{T}{n} e^{-T/n}
  5. E
    1n(n−1n)T−1\frac{1}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1}

Answer

Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici (UMVUE), Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1} ifadesidir.
Lehmann-Scheffe teoremine göre; tam ve yeterli bir istatistiğin (burada T), herhangi bir yansız tahmin edici üzerinden Rao-Blackwell teoremine sokulmasıyla (koşullu beklenen değerinin alınmasıyla) elde edilen yeni tahmin edici, o parametre için eşsiz Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edicidir (UMVUE). P(X=1)P(X=1)'in en basit yansız tahmin edicisi olan I(X1=1)I(X_1=1) fonksiyonu, tam ve yeterli olan TT toplamına koşullandırıldığında matematiksel olarak Tn(n−1n)T−1\frac{T}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{T-1} ifadesine sadeleşir.

Step-by-Step Solution

1
Poisson dağılımı için tam ve yeterli istatistiğin belirlenmesi.
T=∑i=1nXi∼Poisson(nλ)T = \sum_{i=1}^n X_i \sim Poisson(n\lambda) kitle için tam ve yeterli bir istatistiktir.
Lehmann-Scheffe teoremini uygulamak için parametreyi barındıran tam ve yeterli istatistiğe ihtiyaç duyulur.
2
P(X=1)=λe−λP(X = 1) = \lambda e^{-\lambda} parametresi için basit bir yansız tahmin edici bulunması.
I(X1=1)I(X_1 = 1) gösterge fonksiyonu tanımlanır. E[I(X1=1)]=P(X1=1)=λe−λE[I(X_1 = 1)] = P(X_1 = 1) = \lambda e^{-\lambda} olduğundan, I(X1=1)I(X_1 = 1) yansız bir tahmin edicidir.
Rao-Blackwelllaştırma yapabilmek için öncelikle parametrenin yansız bir tahmin edicisi gereklidir.
3
Bulunan yansız tahmin edicinin, tam ve yeterli istatistik TT verildiğinde koşullu beklenen değerinin hesaplanması.
E[I(X1=1)∣T=t]=P(X1=1∣∑i=1nXi=t)=P(X1=1,∑i=2nXi=t−1)P(∑i=1nXi=t)E[I(X_1 = 1) | T = t] = P(X_1 = 1 | \sum_{i=1}^n X_i = t) = \frac{P(X_1 = 1, \sum_{i=2}^n X_i = t-1)}{P(\sum_{i=1}^n X_i = t)} formülü yazılır.
Lehmann-Scheffe teoremine göre, bu koşullu beklenen değer doğrudan UMVUE'yi verir.
4
Koşullu olasılık ifadesindeki dağılımların yerine konularak sonucun TT ve nn cinsinden sadeleştirilmesi.
Pay: (λe−λ)⋅((n−1)λ)t−1e−(n−1)λ(t−1)!(\lambda e^{-\lambda}) \cdot \frac{((n-1)\lambda)^{t-1} e^{-(n-1)\lambda}}{(t-1)!}
Payda: (nλ)te−nλt!\frac{(n\lambda)^t e^{-n\lambda}}{t!}
İki ifade oranlanıp sadeleştirildiğinde tn(n−1n)t−1\frac{t}{n} \left(\frac{n-1}{n}\right)^{t-1} bulunur.
UMVUE sadece gözlemlenebilen nn ve TT değerlerine bağlı olmalı, bilinmeyen λ\lambda parametresini içermemelidir.

Key Concept

Lehmann-Scheffe Teoremi ve Rao-Blackwelllaştırma
Rate this question

Topics

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

More questions from this topic