Examkin

Question

Difficulty: MediumStokastik Süreçlerin Temel Kavramları

Bir {X(t),t∈T}\{X(t), t \in T\} stokastik süreci; bir Ω\Omega örnek uzayındaki rastgele sonuçları zamanın bir fonksiyonu olarak modelleyen rastgele değişkenler ailesidir. Bu matematiksel yapı, sürecin gözlemlendiği TT zaman parametresi kümesinin ve sürecin alabileceği değerleri gösteren SS durum uzayının özelliklerine göre (kesikli veya sürekli) sınıflandırılır.

Stokastik süreçlerin temel kavramları, sınıflandırma kriterleri ve matematiksel özellikleri dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. A
    Sürekli zamanlı ve kesikli durumlu bir model olan Poisson sürecinde, belirli bir tt anına kadar gerçekleşen olay sayısı Poisson dağılırken, ardışık iki olay arasında geçen bekleme süresi de Poisson dağılımına sahiptir.
  2. B
    Bağımsız artışlı bir stokastik süreçte, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışların bağımsız olması, bu artışları temsil eden olayların ayrık (kesişimlerinin boş küme) olduğunu ve birlikte gerçekleşme olasılıklarının sıfır olduğunu gösterir.
  3. Sabit bir t0∈Tt_0 \in T anı için X(t0)X(t_0) tek bir rastgele değişkeni ifade ederken; örnek uzayından alınan sabit bir ω0∈Ω\omega_0 \in \Omega deney sonucu için zamana bağlı olarak elde edilen X(t,ω0)X(t, \omega_0) fonksiyonuna sürecin örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) adı verilir.Answer
  4. D
    Zaman parametresi kümesi TT'nin bir aralık olduğu ve durum uzayı SS'nin sayılabilir olduğu sürekli zamanlı ve kesikli durumlu süreçlere; bir nehrin ardışık günlerde ölçülen su seviyesi değerleri en uygun örnektir.
  5. E
    Sürekli zamanlı ve sürekli durumlu bir model olan Wiener sürecinde (Brown Hareketi), W(t)W(t) süreci sürekli bir örneklem yoluna sahip olup, kesişmeyen zaman aralıklarındaki artışları geçmiş artışlara tam bağımlıdır.

Answer

Sabit bir t0∈Tt_0 \in T anı için X(t0)X(t_0) tek bir rastgele değişkeni ifade ederken; sabit bir ω0∈Ω\omega_0 \in \Omega deney sonucu için X(t,ω0)X(t, \omega_0) fonksiyonuna örneklem fonksiyonu (örneklem yolu) adı verilir.
Stokastik bir süreç, X(t,ω)X(t, \omega) formunda iki değişkene bağlıdır. Eğer tt belirli bir an olarak sabitlenirse, tüm ω\omega'lar için sürecin alacağı değerleri veren tek bir X(t)X(t) rastgele değişkeni elde edilir. Eğer rastgele deney yapılıp spesifik bir ω0\omega_0 sonucu elde edilirse, bu sonucun zaman içindeki ilerleyişini gösteren ve sadece zamana bağlı olan X(t,ω0)X(t, \omega_0) deterministik fonksiyonuna sürecin örneklem yolu veya örneklem fonksiyonu (sample path / sample function) denir. Bu, stokastik süreçlerin en temel yapısal ayrımıdır.

Step-by-Step Solution

1
Stokastik sürecin iki değişkenli yapısının analiz edilmesi
X(t,ω)X(t, \omega) fonksiyonunun hem t∈Tt \in T zaman parametresine hem de ω∈Ω\omega \in \Omega deney sonucuna bağlı olduğu görülür.
Sürecin davranışını zaman ve durum uzayı eksenlerinde anlamlandırmak için tanım kümesi incelenmelidir.
2
Değişkenlerin tek tek sabitlenerek incelenmesi
tt sabitlendiğinde durum uzayındaki dağılımı veren bir rastgele değişken elde edilir. ω\omega sabitlendiğinde ise o spesifik sonucun zamana göre değişimi (örneklem yolu) ortaya çıkar.
Örneklem fonksiyonu ve rastgele değişken kavramlarının birbirinden net şekilde ayırt edilmesi gereklidir.
3
Çeldiricilerdeki kavramsal hataların ayıklanması
Bağımsızlık ile ayrıklık kavramlarının farklı olduğu, zaman ile durum uzayı sınıflandırmalarının örneklere uyumu ve temel stokastik süreçlerin (Poisson, Wiener) karakteristik özellikleri teyit edilir.
Sınıflandırma ve bağımsız artış gibi temel konulardaki yaygın yanılgıları elemek içindir.

Key Concept

Stokastik Süreç Tanımı ve Örneklem Fonksiyonu
Estimated Time:1m 30s
Rate this question

Topics

Stokastik Süreçlerin Temel Kavramları

More questions from this topic