Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir elektronik eşya par… — KPSS İstatistik

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir elektronik eşya partisinden rastgele seçilen ürünlerin gümrük mevzuatına aykırı (kusurlu) olma olasılığı sabittir ve ürünlerin kusurlu olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Bu partiden rastgele seçilen $n$ adet ürünün incelenmesi sürecinde, kusurlu ürün sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri ile varyansı arasındaki fark $0.8$ olarak tespit edilmiştir.

Aynı incelemede kusurlu ürün sayısının varyansı $3.2$ olduğuna göre, incelenen toplam ürün sayısı ( $n$ ) ve bu ürünler arasından yalnızca birinin kusurlu olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

$20$ ve $4(0.8)^{19}$ Answer
B
$20$ ve $(0.2)(0.8)^{19}$
C
$20$ ve $16(0.2)^{19}$
D
$20$ ve $(0.8)(0.2)^{19}$
E
$5$ ve $4(0.2)^4$

Answer

İncelenen ürün sayısı

20

ve yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığı

4(0.8)^{19}

şeklindedir.

Soruda verilen bilgilere göre

X

kusurlu ürün sayısı Binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımında beklenen değer

E[X] = np

ve varyans

Var(X) = np(1-p)

formülleriyle hesaplanır. Farkları alındığında

np - np(1-p) = np(1 - 1 + p) = np^2 = 0.8

eşitliği elde edilir. Varyans olan

np(1-p) = 3.2

ifadesi ile bu denklem birbirine oranlandığında

\frac{1-p}{p} = 4

denkleminden

p=0.2

bulunur. Bulunan

p

değeri yerine yazıldığında

n(0.2)^2 = 0.8

ifadesinden ürün sayısı

n=20

elde edilir. İstenen durum olan 1 ürünün kusurlu olması, formüle göre

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

Kusurlu ürün sayısını ifade eden

X

rastgele değişkeninin dağılımını belirleme

X \sim Bin(n, p)

, burada

E[X] = np

Var(X) = np(1-p)

'dir.

Ürünlerin kusurlu olma durumları bağımsız ve olasılık sabit olduğundan süreç Binom dağılımına uyar.

Verilen bilgilerden denklem sistemini kurma

E[X] - Var(X) = np - np(1-p) = np^2 = 0.8

Var(X) = np(1-p) = 3.2

eşitlikleri elde edilir.

Soruda beklenen değer ile varyans farkı 0.8 ve varyans 3.2 olarak açıkça verilmiştir.

Denklem sistemini çözerek

p

n

parametrelerini bulma

İki denklem oranlandığında

\frac{np(1-p)}{np^2} = \frac{1-p}{p} = \frac{3.2}{0.8} = 4

bulunur. Buradan

1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p=0.2

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konduğunda

n(0.2)^2 = 0.8 \implies n(0.04) = 0.8 \implies n=20

bulunur.

Binom dağılımının temel parametreleri olan

n

(deneme sayısı) ve

p

(başarı/kusur olasılığı) bilinmeden olasılık hesabı yapılamaz.

Yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığını,

P(X=1)

, hesaplama

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 20 \times 0.2 \times (0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

sonucuna ulaşılır.

Soruda tam olarak bir ürünün kusurlu olma olasılığı istenmektedir.

Key Concept

Binom Dağılımında Beklenen Değer ve Varyans Özelliklerinin Kullanımı

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic