Bir web sunucusuna saniyede gelen bağlantı isteği sayısı, beklenen değeri \lambda olan bir… — KPSS İstatistik

Bir web sunucusuna saniyede gelen bağlantı isteği sayısı, beklenen değeri $\lambda$ olan bir Poisson dağılımı izlemektedir. Bu sunucudaki trafiği analiz etmek amacıyla, birbirinden bağımsız olarak rastgele seçilen 3 farklı saniyedeki bağlantı istek sayıları sırasıyla $X_1, X_2$ ve $X_3$ olarak kaydedilmiştir.

Bilinmeyen $\lambda$ parametresini tahmin etmek için aşağıdaki iki yansız tahmin edici önerilmiştir:

T_1 = \frac{X_1 + X_2 + X_3}{3}

T_2 = \frac{X_1 + X_2 + 2X_3}{4}

Buna göre, $T_1$ tahmin edicisinin mutlak etkinliği (Cramer-Rao alt sınırına ulaşıp ulaşmaması bakımından) ve $T_1$ 'in $T_2$ 'ye göre göreli etkinliği $\left( RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} \right)$ aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

Mutlak etkindir, $9/8$ Answer
B
Mutlak etkindir, $8/9$
C
Mutlak etkin değildir, $9/8$
D
Mutlak etkin değildir, $8/9$
E
Mutlak etkindir, $3/4$

Answer

T_1

mutlak etkindir ve göreli etkinlik oranı

9/8

'dir.

Doğru cevap,

T_1

'in mutlak etkin olduğunu ve göreli etkinliğin

9/8

olduğunu belirten seçenektir. Poisson dağılımında

n=3

birimlik örneklem için Fisher bilgi miktarı

I(\lambda) = 1/\lambda

ve Cramer-Rao alt sınırı (CRLB)

1/(n \cdot I(\lambda)) = \lambda/3

'tür.

T_1

örneklem ortalamasıdır ve varyansı

Var(T_1) = \lambda/3

'tür. Varyansı CRLB'ye eşit olduğu için

T_1

mutlak etkindir.

T_2

ağırlıklı ortalamasının varyansı hesaplanırken bağımsızlık gereği katsayıların karesi alınır:

Var(T_2) = (1^2 \cdot \lambda + 1^2 \cdot \lambda + 2^2 \cdot \lambda)/4^2 = 6\lambda/16 = 3\lambda/8

. Göreli etkinlik oranı ise formüle göre hesaplanır:

RE(T_1, T_2) = Var(T_2) / Var(T_1) = (3\lambda/8) / (\lambda/3) = 9/8

elde edilir.

Step-by-Step Solution

Poisson dağılımı için Cramer-Rao Alt Sınırını (CRLB) hesapla.

n=3

için

I(\lambda) = 1/\lambda

olduğundan

CRLB = \frac{1}{n \cdot I(\lambda)} = \frac{\lambda}{3}

bulunur.

Bir tahmin edicinin mutlak etkin olup olmadığını belirlemek için varyansının CRLB'ye eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

T_1

tahmin edicisinin varyansını bul ve mutlak etkinliğini değerlendir.

Var(T_1) = Var(\bar{X}) = \frac{\lambda}{3}

Var(T_1) = CRLB

olduğu için

T_1

mutlak etkindir.

Mutlak etkinlik, bir yansız tahmin edicinin Cramer-Rao alt sınırına tam olarak ulaştığı (en küçük varyansa sahip olduğu) durumu ifade eder.

T_2

tahmin edicisinin varyansını hesapla.

Var(T_2) = \frac{1^2 Var(X_1) + 1^2 Var(X_2) + 2^2 Var(X_3)}{4^2} = \frac{\lambda + \lambda + 4\lambda}{16} = \frac{6\lambda}{16} = \frac{3\lambda}{8}

Ağırlıklı bir ortalamanın varyansı bulunurken, rastgele değişkenlerin bağımsızlığından yararlanılır ve katsayıların kareleri alınarak varyanslar toplanır.

T_1

'in

T_2

'ye göre göreli etkinliğini formülü kullanarak hesapla.

RE(T_1, T_2) = \frac{Var(T_2)}{Var(T_1)} = \frac{3\lambda/8}{\lambda/3} = \frac{3}{8} \times \frac{3}{1} = \frac{9}{8}

Bir

T_1

tahmin edicisinin

T_2

'ye göre göreli etkinliği, varyansların ters oranıdır; yani

Var(T_2)

'nin

Var(T_1)

'e bölünmesiyle elde edilir.

Key Concept

Tahmin Edicilerin Etkinliği, Cramer-Rao Alt Sınırı ve Göreli Etkinlik

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic