Examkin

Question

Difficulty: EasyTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bir kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem olsun. Kitlenin varyansı σ2=4\sigma^2 = 4 olarak bilinen ve ortalaması μ\mu olan bir normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır:

f(x;μ)=18πexp⁡(−(x−μ)28),−∞<x<∞f(x; \mu) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{8}\right), \quad -\infty < x < \infty

Buna göre, g(μ)=2μg(\mu) = 2\mu parametrik fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisine ait varyans için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16n\frac{16}{n}Answer
  2. B
    4n\frac{4}{n}
  3. C
    8n\frac{8}{n}
  4. D
    1n\frac{1}{n}
  5. E
    16n2\frac{16}{n^2}

Answer

μ\mu parametresinin bir fonksiyonu olan g(μ)=2μg(\mu) = 2\mu için Cramer-Rao alt sınırı 16/n16/n olarak hesaplanır.
Varyansı σ2=4\sigma^2=4 olan normal dağılımda, μ\mu parametresi için Fisher bilgisi I(μ)=1/4I(\mu) = 1/4 düzeyindedir. Cramer-Rao alt sınırı formülü olan [g′(μ)]2nI(μ)\frac{[g'(\mu)]^2}{n I(\mu)} ifadesinde g(μ)=2μg(\mu)=2\mu için türev g′(μ)=2g'(\mu)=2 olarak yerine konulduğunda, pay kısmında 22=42^2=4 ve payda kısmında n⋅(1/4)n \cdot (1/4) değerleri oluşur. Bu işlem sonucunda alt sınır 16/n16/n olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

1
Fisher Bilgisinin (I(μ)I(\mu)) hesaplanması
I(μ)=1/σ2=1/4I(\mu) = 1/\sigma^2 = 1/4
Varyansı bilinen normal dağılımda, konum parametresi μ\mu için tek bir gözlemin taşıdığı Fisher bilgisi varyansın tersine eşittir.
2
Tahmin edilmek istenen fonksiyonun türevinin (g′(μ)g'(\mu)) bulunması
g′(μ)=ddμ(2μ)=2g'(\mu) = \frac{d}{d\mu}(2\mu) = 2
Cramer-Rao alt sınırı formülünde pay kısmında yer alan payın karesini belirlemek için türev gereklidir.
3
Cramer-Rao Alt Sınırı (CRAS) formülünün uygulanması
CRAS=[g′(μ)]2n⋅I(μ)=22n⋅(1/4)=4n/4=16nCRAS = \frac{[g'(\mu)]^2}{n \cdot I(\mu)} = \frac{2^2}{n \cdot (1/4)} = \frac{4}{n/4} = \frac{16}{n}
nn birimlik örneklem için bir fonksiyonun yansız tahmin edicisinin varyansının alt sınırı bu genel formülle bulunur.

Key Concept

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Parametre Fonksiyonları
Rate this question

Topics

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

More questions from this topic