Examkin

Question

Difficulty: Very hardÇok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

X\mathbf{X}, pp boyutlu sürekli bir rassal vektör olmak üzere, X\mathbf{X}'in olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x)=K⋅exp⁡(−12x′Ax+b′x)f(\mathbf{x}) = K \cdot \exp\left(-\frac{1}{2} \mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b}'\mathbf{x}\right)

Burada A\mathbf{A}, p×pp \times p boyutlu simetrik ve pozitif tanımlı bir matris, b\mathbf{b} ise p×1p \times 1 boyutlu bir vektör, KK ise dağılımın normalize edici sabitidir.

Buna göre, normalize edici sabit (KK) ve X\mathbf{X} vektörünün beklenen değeri (E(X)E(\mathbf{X})) aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    K=(2π)−p/2∣A∣−1/2exp⁡(−12b′A−1b),E(X)=A−1bK = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \right), \quad E(\mathbf{X}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}
  2. B
    K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(12b′A−1b),E(X)=A−1bK = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left( \frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \right), \quad E(\mathbf{X}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}
  3. K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(−12b′A−1b),E(X)=A−1bK = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \right), \quad E(\mathbf{X}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}Answer
  4. D
    K=(2π)−p/2∣A∣−1/2exp⁡(−12b′Ab),E(X)=AbK = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{-1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}\mathbf{b} \right), \quad E(\mathbf{X}) = \mathbf{A}\mathbf{b}
  5. E
    K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(−12b′Ab),E(X)=bK = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}\mathbf{b} \right), \quad E(\mathbf{X}) = \mathbf{b}

Answer

Doğru cevap, K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(−12b′A−1b)K = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left( -\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} \right) ve E(X)=A−1bE(\mathbf{X}) = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} eşitliklerini veren seçenektir.
Verilen f(x)f(\mathbf{x}) fonksiyonunun üssel kısmı −12(x′Ax−2b′x)-\frac{1}{2}(\mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x} - 2\mathbf{b}'\mathbf{x}) olarak yazılır. Standart çok değişkenli normal dağılım yoğunluk fonksiyonu formülü olan exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))\exp\left(-\frac{1}{2}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x}-\boldsymbol{\mu})\right) ile terim terim eşleştirildiğinde Σ−1=A\boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \mathbf{A} ve μ=A−1b\boldsymbol{\mu} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} elde edilir. Dağılımın geçerli olabilmesi için yoğunluk fonksiyonunun 11'e integre edilmesi gerekir. Tam kare tamamlama sonucu dışarıda kalan exp⁡(−12μ′Σ−1μ)\exp\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}\right) terimi ile standart formülün katsayısı olan (2π)−p/2∣Σ∣−1/2(2\pi)^{-p/2}|\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} eşitlenerek KK sabiti izole edildiğinde, doğru ifadenin K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(−12b′A−1b)K = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left(-\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\right) olduğu görülür.

Step-by-Step Solution

1
Çok değişkenli normal dağılımın standart yoğunluk fonksiyonu formülünü yazın.
f(x)=(2π)−p/2∣Σ∣−1/2exp⁡(−12(x−μ)′Σ−1(x−μ))f(\mathbf{x}) = (2\pi)^{-p/2} |\boldsymbol{\Sigma}|^{-1/2} \exp\left(-\frac{1}{2} (\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\mathbf{x} - \boldsymbol{\mu})\right)
Verilen fonksiyon ile standart formül arasında yapısal bir eşleştirme (parametre tespiti) yapmak için.
2
Standart formüldeki üssel kısmın parantezini açarak kuadratik formu genişletin.
−12(x′Σ−1x−2μ′Σ−1x+μ′Σ−1μ)-\frac{1}{2}\left( \mathbf{x}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{x} - 2\boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\mathbf{x} + \boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu} \right)
Verilen sorudtaki −12x′Ax+b′x-\frac{1}{2} \mathbf{x}'\mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{b}'\mathbf{x} ifadesiyle terim terim eşitleme yapabilmek için.
3
Genişletilmiş standart form ile soruda verilen üssel kısmı eşleştirerek Σ\boldsymbol{\Sigma} ve μ\boldsymbol{\mu} değerlerini bulun.
İkinci dereceden terimler eşitlendiğinde Σ−1=A\boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \mathbf{A} elde edilir. Doğrusal terimler eşitlendiğinde μ′Σ−1=b′\boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1} = \mathbf{b}', buradan Aμ=b\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} = \mathbf{b} ve E(X)=μ=A−1bE(\mathbf{X}) = \boldsymbol{\mu} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b} bulunur.
Dağılımın beklenen değerini matris cebiri kullanarak izole etmek için.
4
Standart yoğunluk fonksiyonundaki sabitleri KK ifadesi ile eşitleyin.
Standart formda üslü ifadenin içinde kalan sabit terim exp⁡(−12μ′Σ−1μ)\exp\left(-\frac{1}{2}\boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}\right)'dir. Bunu normalize edici baş katsayı ile birleştirdiğimizde sorudaki KK yapısını elde ederiz: K⋅exp⁡(12b′A−1b)=(2π)−p/2∣A∣1/2K \cdot \exp\left(\frac{1}{2}\mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\right) = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2}
Soruda verilen formüldeki KK sabitinin tam karşılığını bulmak için tam kareye tamamlama kuralını uygulamak.
5
KK değerini yalnız bırakın.
K=(2π)−p/2∣A∣1/2exp⁡(−12b′A−1b)K = (2\pi)^{-p/2} |\mathbf{A}|^{1/2} \exp\left(-\frac{1}{2} \mathbf{b}'\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}\right)
Sorunun bizden istediği KK sabitinin nihai kapalı formunu elde etmek için.

Key Concept

Çok değişkenli normal dağılımın üstel aile formu, matris kuadratik formları ve tam kareye tamamlama tekniği.
Rate this question

Topics

Çok Değişkenli Normal Dağılımın Yoğunluk Fonksiyonu

More questions from this topic