Bir endüstri yöneylem araştırmacısı, 3 farklı montaj hattı tasarımının (A, B ve C) işçiler… — KPSS İstatistik

Bir endüstri yöneylem araştırmacısı, 3 farklı montaj hattı tasarımının (A, B ve C) işçilerin günlük üretim miktarları ( $Y$ ) üzerindeki etkisini incelemek amacıyla başlangıçta Tek Yönlü Varyans Analizi (ANOVA) uygulamış ve tasarımlar arasında istatistiksel olarak anlamlı bir fark bulamamıştır. Daha sonra işçilerin mesleki kıdem yıllarını ( $X$ ) ortak değişken (covariate) olarak modele dahil edip Kovaryans Analizi (ANCOVA) gerçekleştirdiğinde, tasarımlar arasındaki temel etkinin anlamlı hale geldiğini tespit etmiştir.

Modelin incelenmesi sonucunda şu bulgulara ulaşılmıştır:
I. Ortak değişken ( $X$ ) ile bağımlı değişken ( $Y$ ) arasındaki havuzlanmış grup içi regresyon katsayısı pozitif yönlüdür ( $b_w > 0$ ).
II. Düzeltilmemiş (gözlenen) günlük üretim miktarı ortalamaları $\bar{Y}_A > \bar{Y}_B > \bar{Y}_C$ şeklinde sıralanmaktadır.
III. ANCOVA sonucunda hesaplanan düzeltilmiş (adjusted) grup ortalamaları arasındaki açıklık (fark), düzeltilmemiş ortalamalar arasındaki açıklıktan çok daha büyüktür (yani A ve C grupları birbirlerinden daha da uzaklaşmıştır).

ANCOVA'nın temel prensipleri dikkate alındığında, modelin anlamlı çıkmasını ve ortalamalar arası farkın açılmasını açıklayan en doğru istatistiksel yargı aşağıdakilerden hangisidir?

Mesleki kıdem ( $X$ ) işçiler arasındaki rastgele değişkenliği açıklayarak hata kareler ortalamasını düşürmüştür; ayrıca A grubundaki işçilerin ortalama kıdem yılı, genel kıdem yılı ortalamasından düşük olduğu için bu grubun üretim ortalaması yukarı yönlü düzeltilmiştir.Answer
B
Modelde regresyon doğrularının paralelliği varsayımı ihlal edilmiş ve ortak değişken her tasarım grubu için farklı eğimlerle üretimi etkileyerek gruplararası kareler toplamını yapay olarak artırmıştır.
C
Ortak değişken ile montaj hattı tasarımları arasındaki etkileşim varyansı ANCOVA tarafından gruplararası varyansa eklenmiş, böylece A ile C tasarımları arasındaki açıklık genişletilmiştir.
D
Ortak değişken için ayrı bir serbestlik derecesi kullanılması, ANOVA'daki gruplararası serbestlik derecesini (k-1) azaltmış ve bu matematiksel daralma gruplararası kareler ortalamasını otomatik olarak büyütmüştür.
E
Ortak değişkenin bağımsız bir tahmin edici olarak modele girmesi modelin karmaşıklığını artırmış ve düzeltilmiş $R^2$ yerine standart $R^2$ 'nin kullanılması modelin açıklanan varyansını şişirerek F değerini anlamlı kılmıştır.

Answer

ANCOVA, ortak değişken yardımıyla hata varyansını düşürür. Grup ortalamalarındaki açıklığın artması ise, yüksek performanslı grubun ortak değişken ortalamasının genel ortalamadan düşük olmasından kaynaklanır.

Kovaryans analizi (ANCOVA), faktör düzeyleri dışındaki ölçülebilir değişkenlerin (kıdem gibi) bağımlı değişken (üretim) üzerindeki etkisini arındırır. Bu süreçte hata varyansı (

MS_{Error}

) küçüldüğü için ANOVA'da bulunamayan anlamlılık yakalanabilir. Ayrıca, gruplararası ortalama farklılığının daha da açılması, yüksek performansa sahip grubun (A) aslında diğerlerine göre dezavantajlı bir konumda (kıdem ortalamasının altında) olduğunu gösterir. ANCOVA bu dezavantajı matematiksel olarak dengelediğinde (

\bar{Y}'_A = \bar{Y}_A - b_w(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

denklemine göre

\bar{X}_A < \bar{X}_{..}

durumu), grubun gerçek performans ortalaması yukarı doğru revize edilir ve fark büyür.

Step-by-Step Solution

ANOVA'dan ANCOVA'ya geçişte F istatistiğinin anlamlı hale gelmesinin nedenini belirle.

Ortak değişkenin (

X

) modele eklenmesi, bağımlı değişken (

Y

) üzerindeki açıklanamayan (rastgele) hata varyansını (

SS_{Error}

) düşürür, bu da F istatistiğinin paydasını küçülterek testin istatistiksel gücünü artırır.

Kovaryans analizinin temel amacı, ortak değişkenin açıkladığı varyansı hata varyansından çıkararak daha hassas bir test elde etmektir.

Düzeltilmiş grup ortalamaları formülünü yaz ve yönleri analiz et.

Formül:

\bar{Y}'_j = \bar{Y}_j - b_w(\bar{X}_j - \bar{X}_{..})

. Soruda

b_w > 0

verilmiştir ve

\bar{Y}_A > \bar{Y}_B > \bar{Y}_C

şeklindedir.

Ortak değişkenin gruplar arası başlangıç farklarını nasıl düzelttiğini matematiksel olarak görmek için eşitlik gereklidir.

Düzeltilmiş ortalamalar arasındaki farkın nasıl açılabileceğini değerlendir.

Farkın açılması için, zaten yüksek olan A grubunun düzeltilmiş ortalamasının daha da artması (

\bar{Y}'_A > \bar{Y}_A

) gerekir. Bu ancak formüldeki

- b_w(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

teriminin pozitif değer almasıyla mümkündür.

Eğer A grubu ortalamadan yüksek bir deneyime sahip olsaydı, model A'nın başarısını kıdeme bağlayıp puanını aşağı çekerdi. Fark açıldığına göre tam tersi yaşanmıştır.

Terimin pozitif olma şartını eşitsizlik ile çöz.

b_w > 0

olduğu için çarpımın pozitif olması adına

(\bar{X}_A - \bar{X}_{..})

değerinin negatif olması zorunludur. Yani

\bar{X}_A < \bar{X}_{..}

olmalıdır.

Matematiksel eşitsizlik kuralı gereği, A grubunun ortalama kıdemi genel kıdem ortalamasının altında olmalıdır.

Key Concept

Kovaryans Analizinde (ANCOVA) Düzeltilmiş Ortalamalar ve Hata Varyansının Küçültülmesi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic