İstatistiksel tahmin teorisinde, üstel ailelerin (exponential families) özelliklerinden ya… — KPSS İstatistik

İstatistiksel tahmin teorisinde, üstel ailelerin (exponential families) özelliklerinden yararlanılarak tamlık (completeness) özelliği kolaylıkla belirlenebilmektedir. $k$ -parametreli bir üstel ailede, doğal (kanonik) parametre uzayının $k$ -boyutlu bir açık küme içermesi durumunda, bu dağılım için tanımlanan yeterli istatistik hakkında aşağıdakilerden hangisi her zaman doğrudur?

Tam (complete) bir istatistiktir.Answer
B
En çok olabilirlik (maximum likelihood) tahmin edicisidir.
C
Her zaman yansız (unbiased) bir tahmin edicidir.
D
Varyansı her zaman Cramer-Rao alt sınırına ulaşan etkin bir istatistiktir.
E
Parametre için her zaman tutarlı (consistent) bir tahmin edicidir.

Answer

Parametre uzayı bir açık küme içeren k-parametreli bir üstel ailede yeterli istatistik tamdır (complete).

Üstel aileler teorisinde, eğer bir dağılım ailesi k-parametreli tam bir üstel aile formunda yazılabiliyorsa ve parametre uzayı k-boyutlu bir açık küme içeriyorsa, bu dağılım için tanımlanan yeterli istatistik aynı zamanda tam (complete) bir istatistiktir. Bu özellik, Lehmann-Scheffe teoremi aracılığıyla benzersiz en iyi yansız tahmin edicilerin (UMVUE) bulunmasında kritik rol oynar.

Step-by-Step Solution

Üstel aile formunun ve yeterli istatistiğin belirlenmesi

f(x; \theta) = h(x)c(\theta)\exp[\sum w_j(\theta)t_j(x)]

Bir dağılımın üstel aile olup olmadığını anlamak için olabilirlik fonksiyonu bu formda yazılır ve

T(X) = \sum t(X_i)

yeterli istatistiği bulunur.

Tamlık teoremindeki parametre uzayı şartının kontrol edilmesi

Doğal parametre uzayının açık bir küme içermesi

Yeterli istatistiğin tam olması için parametrelerin (kanonik formda) değişim aralığının bir açık aralık veya küme içermesi gerekir (curved exponential family olmamalıdır).

Sonucun ifade edilmesi

İstatistik tam ve yeterlidir.

Belirtilen şartlar altında üstel aileler için yeterli istatistiğin tam olduğu teorik olarak kanıtlanmıştır.

Key Concept

Üstel Ailelerde Tamlık Teoremi

Estimated Time:45s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic