Examkin

Question

Difficulty: Very hardEn Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

Bir araştırmacı, nn gözlemden oluşan bir veri seti kullanarak Yi=β0+β1xi+ϵiY_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i basit doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Bu tahmin sonucunda regresyon denklemini Y^i=4+2xi\hat{Y}_i = 4 + 2x_i ve Hata Kareler Toplamını (SSE) 100100 olarak bulmuştur.

Araştırmacı daha sonra veri setindeki değişkenler üzerinde doğrusal bir dönüşüm uygulayarak yeni değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlamıştır:
Yi∗=3Yi−2Y_i^* = 3Y_i - 2
xi∗=xi2+5x_i^* = \frac{x_i}{2} + 5

Bu yeni değişkenler kullanılarak Yi∗=α0+α1xi∗+uiY_i^* = \alpha_0 + \alpha_1 x_i^* + u_i modeli EKK yöntemiyle tahmin edildiğinde, yeni modelin eğim katsayısı tahmin edicisi (α^1\hat{\alpha}_1) ve Hata Kareler Toplamı (SSE∗SSE^*) değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 1212 ve 900900Answer
  2. B
    1212 ve 100100
  3. C
    66 ve 300300
  4. D
    33 ve 900900
  5. E
    33 ve 300300

Answer

Yeni modelin eğim katsayısı 1212 ve Hata Kareler Toplamı (SSE∗SSE^*) 900900 olmalıdır.
EKK eğim katsayısı formülünde, bağımlı ve bağımsız değişkenlerin ortalamadan sapmaları kullanılır. Yeni değişkenler için ortalamadan sapmalar alındığında sabit terimler (+5+5 ve −2-2) birbirini götürür; geriye sadece çarpımsal katsayılar kalır: Yi∗−Yˉ∗=3(Yi−Yˉ)Y_i^* - \bar{Y}^* = 3(Y_i - \bar{Y}) ve xi∗−xˉ∗=0.5(xi−xˉ)x_i^* - \bar{x}^* = 0.5(x_i - \bar{x}). Formülde yerine konulduğunda yeni eğim katsayısı α^1=(3/0.5)⋅β^1=6⋅2=12\hat{\alpha}_1 = (3 / 0.5) \cdot \hat{\beta}_1 = 6 \cdot 2 = 12 olur. Hata terimleri de modelin denklemi gereği bağımlı değişkenle aynı oranda (33 katı) ölçeklenir (ei∗=3eie_i^* = 3e_i). Hata Kareler Toplamı (SSE) hataların karelerinin toplamı olduğu için yeni modelin SSE'si orijinalin 32=93^2 = 9 katına çıkar. Dolayısıyla yeni SSE∗=9⋅100=900SSE^* = 9 \cdot 100 = 900 olarak hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Eğim katsayısı tahmin edicisinin (α^1\hat{\alpha}_1) matematiksel formülünü yeni değişkenler cinsinden yazmak.
α^1=∑(xi∗−xˉ∗)(Yi∗−Yˉ∗)∑(xi∗−xˉ∗)2\hat{\alpha}_1 = \frac{\sum (x_i^* - \bar{x}^*)(Y_i^* - \bar{Y}^*)}{\sum (x_i^* - \bar{x}^*)^2}
Dönüşümün etkisini görebilmek için tahmin edicinin tanımlayıcı EKK denklemi kurulmalıdır.
2
Yeni değişkenlerin ortalamadan sapma değerlerini bulmak.
Yi∗−Yˉ∗=3(Yi−Yˉ)Y_i^* - \bar{Y}^* = 3(Y_i - \bar{Y}) ve xi∗−xˉ∗=0.5(xi−xˉ)x_i^* - \bar{x}^* = 0.5(x_i - \bar{x})
Doğrusal dönüşümlerde (eklenen sabitler ortalamadan sapmada birbirini götüreceği için) sadece çarpımsal faktörler kalır.
3
Sapma değerlerini formüle yerleştirerek yeni eğim katsayısını hesaplamak.
α^1=3⋅0.5∑(xi−xˉ)(Yi−Yˉ)(0.5)2∑(xi−xˉ)2=1.50.25β^1=6⋅2=12\hat{\alpha}_1 = \frac{3 \cdot 0.5 \sum (x_i - \bar{x})(Y_i - \bar{Y})}{(0.5)^2 \sum (x_i - \bar{x})^2} = \frac{1.5}{0.25} \hat{\beta}_1 = 6 \cdot 2 = 12
Bağımsız değişkenin katsayısı paydada karesiyle yer alırken pay kısmında doğrusal olarak bulunur, bu da oransal değişimi verir.
4
Yeni modelin kalıntı (hata) terimleri arasındaki ilişkiyi tespit etmek.
Y^i∗=3Y^i−2\hat{Y}_i^* = 3\hat{Y}_i - 2 olduğundan, tahmin hatası ei∗=Yi∗−Y^i∗=3(Yi−Y^i)=3eie_i^* = Y_i^* - \hat{Y}_i^* = 3(Y_i - \hat{Y}_i) = 3e_i olur.
SSE değerini hesaplamak için yeni hata terimlerinin orijinallerle nasıl ölçeklendiğinin bulunması şarttır.
5
Yeni Hata Kareler Toplamını (SSE∗SSE^*) orijinal SSE değeri üzerinden hesaplamak.
SSE∗=∑(ei∗)2=∑(3ei)2=9∑ei2=9⋅100=900SSE^* = \sum (e_i^*)^2 = \sum (3e_i)^2 = 9 \sum e_i^2 = 9 \cdot 100 = 900
Kalıntı terimleri sabit bir sayı ile çarpıldığında, karelerinin toplamı bu sabitin karesi kadar büyüyecektir.

Key Concept

En Küçük Kareler Tahmin Edicilerinin Doğrusal Dönüşüm Altındaki Matematiksel Özellikleri

Alternative Method

Dönüşümler matris formunda (Y∗=3Y−2JY^* = 3Y - 2J ve X∗=0.5X+5JX^* = 0.5X + 5J) yazılarak Genelleştirilmiş EKK (GLS) teorisine benzer şekilde β^∗=(X∗TX∗)−1X∗TY∗\hat{\beta}^* = (X^{*T}X^*)^{-1}X^{*T}Y^* matris çarpımları üzerinden analitik olarak da gösterilebilir.
Estimated Time:3m 0s
Rate this question

Topics

En Küçük Kareler Yöntemi (Least Squares Estimation)

More questions from this topic