\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix} şeklinde parçalanm… — KPSS İstatistik

$\mathbf{X} = \begin{bmatrix} \mathbf{X}_1 \\ \mathbf{X}_2 \end{bmatrix}$ şeklinde parçalanmış ve ortak çok değişkenli normal dağılıma ( $MVN$ ) sahip bir rasgele vektörün kovaryans matrisi $\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\Sigma}_{11} & \boldsymbol{\Sigma}_{12} \\ \boldsymbol{\Sigma}_{21} & \boldsymbol{\Sigma}_{22} \end{bmatrix}$ olarak verilmiştir. Buna göre, $\mathbf{X}_1$ ve $\mathbf{X}_2$ alt vektörlerinin istatistiksel olarak bağımsız olmaları için gerekli ve yeterli koşul aşağıdakilerden hangisidir?

$\mathbf{X}_1$ ve $\mathbf{X}_2$ arasındaki çapraz kovaryans matrisinin sıfır matrisi ( $oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}$ ) olmasıAnswer
B
$\mathbf{X}_1$ ve $\mathbf{X}_2$ alt vektörlerinin marjinal olarak normal dağılması ve aralarındaki korelasyonun sıfır olması
C
$\boldsymbol{\Sigma}_{11}$ ve $\boldsymbol{\Sigma}_{22}$ matrislerinin her ikisinin de birim matris olması
D
Koşullu varyans matrisinin $\text{Var}(\mathbf{X}_1 | \mathbf{X}_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12}\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1}\boldsymbol{\Sigma}_{21}$ formülü ile hesaplanabilmesi
E
$\mathbf{X}_1$ ve $\mathbf{X}_2$ alt vektörlerinin ortalama vektörlerinin sıfır vektörüne eşit olması

Answer

Çok değişkenli normal dağılıma sahip alt vektörlerin bağımsızlığı için çapraz kovaryans matrisinin sıfır olması (

oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}

) gereklidir ve yeterlidir.

Çok değişkenli normal dağılımın en temel özelliklerinden biri, alt vektörler arasındaki bağımsızlığın, bu alt vektörlerin çapraz kovaryans matrisinin (

oldsymbol{\Sigma}_{12}

) sıfır matrisi olması ile eşdeğer olmasıdır. Eğer

\mathbf{X}

vektörü bir bütün olarak MVN dağılıyorsa,

oldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}

koşulu bağımsızlık için hem gerekli hem de yeterli bir şart haline gelir.

Step-by-Step Solution

Kovaryans matrisinin parçalı yapısını analiz edin.

\boldsymbol{\Sigma} = \begin{bmatrix} \text{Var}(\mathbf{X}_1) & \text{Cov}(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2) \\ \text{Cov}(\mathbf{X}_2, \mathbf{X}_1) & \text{Var}(\mathbf{X}_2) \end{bmatrix}

şeklinde bir blok matris yapısı mevcuttur.

Bağımsızlık, alt vektörler arasındaki ilişkinin (kovaryansın) incelenmesini gerektirir.

Çok değişkenli normal dağılımın (MVN) bağımsızlık özelliğini uygulayın.

MVN altında,

\text{Cov}(\mathbf{X}_1, \mathbf{X}_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{12} = \mathbf{0}

ise

\mathbf{X}_1

\mathbf{X}_2

bağımsızdır.

Normal dağılımda sıfır kovaryans, istatistiksel bağımsızlığa eşdeğerdir; bu durum diğer dağılımlarda her zaman geçerli değildir.

Key Concept

Çok değişkenli normal dağılımda, iki alt vektörün bağımsız olması için aralarındaki çapraz kovaryans matrisinin sıfır matrisi olması gerekir.

Practice More

Çok değişkenli normal dağılımda bağımsızlık durumunda koşullu ortalamanın marjinal ortalamaya nasıl eşitlendiğini inceleyin.

Estimated Time:1m 30s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Practice More

Topics

More questions from this topic