Bir tıbbi araştırmada, hastaların kanındaki iki farklı enzimin seviyeleri X ve Y rastgele … — KPSS İstatistik

Bir tıbbi araştırmada, hastaların kanındaki iki farklı enzimin seviyeleri $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. Bu değişkenlerin ikinci momentlerinin (karesel beklenen değerlerinin) sırasıyla $E(X^2) = 9$ ve $E(Y^2) = 64$ olduğu saptanmıştır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği göz önüne alındığında, $X$ ile $Y$ değişkenlerinin çarpımının beklenen değeri olan $E(XY)$ 'nin alabileceği en büyük değer ile bu maksimum değere ulaşılması için değişkenler arasında olasılık 1 ile bulunması gereken ilişki aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

A
En büyük değer 576 ; $Y = \frac{64}{9}X$ olmalıdır.
B
En büyük değer 24 ; $Y = -\frac{8}{3}X$ olmalıdır.
C
En büyük değer 24 ; $X$ ve $Y$ birbirinden bağımsız olmalıdır.
En büyük değer 24 ; $Y = \frac{8}{3}X$ olmalıdır.Answer
E
En büyük değer 24 ; $Y = \frac{3}{8}X$ olmalıdır.

Answer

En büyük değer 24'tür ve bu değere ancak

Y = \frac{8}{3}X

şeklinde bir ilişki olduğunda ulaşılır.

Verilen ikinci moment değerlerine (9 ve 64) Cauchy-Schwarz eşitsizliği uygulandığında, çarpımın karesi bu değerlerin çarpımından (576) küçük veya eşit olmalıdır. Bu durum,

E(XY)

'nin maksimum değerinin

\sqrt{576} = 24

olduğunu gösterir. Cauchy-Schwarz eşitsizliğinde eşitliğin sağlanabilmesi için değişkenlerden birinin diğerinin sabit bir katı (

Y = cX

) olması şarttır. İstenen pozitif maksimum değere ulaşmak için katsayının pozitif kökü alınır;

c = \sqrt{64/9} = 8/3

olur. Bu nedenle ilişki

Y = \frac{8}{3}X

şeklindedir.

Step-by-Step Solution

Cauchy-Schwarz eşitsizliğini rastgele değişkenler için uygulayın.

[E(XY)]^2 \leq E(X^2)E(Y^2)

formülü yazılır.

Çarpımın beklenen değerinin üst sınırını belirlemek için momentler arasındaki temel eşitsizlik kuralıdır.

Verilen değerleri eşitsizlikte yerine koyarak

E(XY)

'nin sınırlarını hesaplayın.

[E(XY)]^2 \leq 9 \times 64 = 576 \implies -24 \leq E(XY) \leq 24

. Dolayısıyla en büyük değer 24'tür.

Eşitsizliğin her iki tarafının karekökü alınarak

E(XY)

'nin alabileceği maksimum pozitif değer bulunur.

Maksimum sınıra (eşitsizlikte eşitlik durumuna) ulaşılabilmesi için gereken kuralı belirleyin.

Eşitlik durumunun sağlanması için

X

Y

arasında olasılık 1 ile tam doğrusal bir ilişki (

Y = cX

) olmalıdır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği sadece ve sadece değişkenler arasında skaler bir çarpım ilişkisi (lineer bağımlılık) varsa eşitlik halini alır.

Pozitif maksimum değeri veren

c

katsayısını hesaplayın.

E(Y^2) = c^2 E(X^2) \implies 64 = c^2 \times 9 \implies c^2 = \frac{64}{9}

. En büyük (pozitif) değer istendiği için

c = \frac{8}{3}

alınır ve

Y = \frac{8}{3}X

ilişkisi elde edilir.

E(XY) = cE(X^2) = c \times 9 = 24

eşitliğini sağlayacak olan doğru (pozitif) yönlü ilişkiyi belirlemek.

Key Concept

Cauchy-Schwarz Eşitsizliği ve Beklenen Değer

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic