Bir hidroelektrik santralindeki iki farklı türbinin günlük aşınma paylarını modelleyen X v… — KPSS İstatistik

Bir hidroelektrik santralindeki iki farklı türbinin günlük aşınma paylarını modelleyen $X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = e^{-(x+y)}, \quad x > 0, y > 0

Mühendisler, sistemin toplam aşınmasını $U = X + Y$ ve birinci türbinin toplam aşınma içindeki payını $V = \frac{X}{X+Y}$ dönüşümleriyle analiz etmektedir.

Buna göre, $U$ ve $V$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u,v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$ Answer
B
$h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$
C
$h(u,v) = \frac{1}{u} e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1$
D
$h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0$
E
$h(u,v) = e^{-u}, \quad u > 0, \ v > 0$

Answer

Doğru fonksiyon

h(u,v) = u e^{-u}, \quad u > 0, \ 0 < v < 1

şeklindedir.

Dönüşüm teoremine göre

h(u,v) = f(x(u,v), y(u,v)) |J|

formülü uygulanmalıdır. Ters dönüşümler

x = uv

y = u(1-v)

olarak bulunur. Buradan Jakobiyen determinantı

J = -u

|J| = u

çıkar. Fonksiyonda yerine yazıldığında

e^{-u} \cdot u

elde edilir. Sınırlar ise

x,y > 0

koşullarından

u>0

0<v<1

olarak belirlenir.

Step-by-Step Solution

U

V

denklemlerini kullanarak ters dönüşümleri (

X

Y

) elde etme.

U = X + Y

V = \frac{X}{U}

eşitliklerinden

X = U V

Y = U - X = U(1 - V)

bulunur.

Çok değişkenli dönüşümlerde yeni yoğunluk fonksiyonunu bulmak için öncelikle eski değişkenlerin yeni değişkenler cinsinden yazılması gerekir.

Dönüşümün Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplama.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 1-v & -u \end{vmatrix} = -uv - u(1-v) = -u

elde edilir. Mutlak değeri

|J| = u

olur.

Çok katlı integrallerde alan/hacim değişim oranını dengelemek için olasılık yoğunluk fonksiyonu Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmalıdır.

U

V

değişkenlerinin yeni tanım sınırlarını belirleme.

x > 0 \implies uv > 0

y > 0 \implies u(1-v) > 0

u > 0

olduğu için

v > 0

1-v > 0 \implies v < 1

olmalıdır. Sınırlar:

u > 0, \ 0 < v < 1

Olasılık yoğunluk fonksiyonunun geçerli olduğu destek bölgesi (tanım aralığı), başlangıçtaki koşullara göre yeniden şekillendirilmelidir.

Ters dönüşümleri ve Jakobiyen determinantını başlangıçtaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunda yerine yazma.

h(u,v) = f(uv, u(1-v)) \cdot |J| = e^{-(uv + u - uv)} \cdot u = u e^{-u}

bulunur.

Rastgele değişkenlerin dönüşüm teoreminin son adımı olarak formül uygulanır.

Key Concept

İki rastgele değişkenin sürekli fonksiyonlarının ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunu Jakobiyen determinantı yöntemiyle bulma.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics