Examkin

Question

Difficulty: MediumBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir devlet matbaasında basılan resmi belgelerin her birinde teknik bir hata bulunma olasılığı θ\theta parametresi ile ifade edilmektedir. θ\theta parametresi için uzman görüşleri doğrultusunda belirlenen önsel (prior) dağılım Beta(2,2)Beta(2, 2) biçimindedir. Kalite kontrol süreci kapsamında rastgele seçilen 10 belgeden sadece 1 tanesinin hatalı olduğu saptanmıştır.

Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığına göre, θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 3/143/14Answer
  2. B
    1/101/10
  3. C
    1/21/2
  4. D
    1/61/6
  5. E
    3/103/10

Answer

Bayes tahmin edicisi 3/143/14 olarak hesaplanır.
Verilen önsel Beta(2,2)Beta(2, 2) dağılımı ve Binom olabilirlik fonksiyonu (n=10,x=1n=10, x=1) birleştirildiğinde, sonsal dağılım Beta(3,11)Beta(3, 11) olarak elde edilir. Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, bu sonsal dağılımın beklenen değeridir ve 3/(3+11)=3/143 / (3 + 11) = 3/14 şeklinde hesaplanır.

Step-by-Step Solution

1
Önsel dağılım ve örneklem parametrelerini belirleyin.
Önsel: Beta(α=2,β=2)Beta(\alpha=2, \beta=2), Örneklem: n=10,x=1n=10, x=1.
Bayesyen güncelleme için başlangıç parametrelerine ihtiyaç vardır.
2
Eşlenik önsel (conjugate prior) özelliğini kullanarak sonsal dağılım parametrelerini hesaplayın.
α′=x+α=1+2=3\alpha' = x + \alpha = 1 + 2 = 3 ve β′=n−x+β=10−1+2=11\beta' = n - x + \beta = 10 - 1 + 2 = 11.
Beta-Binom eşlenik yapısında sonsal dağılım Beta(x+α,n−x+β)Beta(x+\alpha, n-x+\beta) olur.
3
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisini bulun.
E[θ∣x]=α′α′+β′=33+11=314E[\theta|x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{3}{3 + 11} = \frac{3}{14}.
Karesel hata kaybı durumunda Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine eşittir.

Key Concept

Beta-Binom Eşlenik Dağılımları ve Bayesyen Nokta Tahmini
Rate this question

Topics

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

More questions from this topic