Examkin

Question

Difficulty: MediumKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir akıllı tarım serasında, ortam sıcaklığının ideal değerden sapma miktarı (derece cinsinden) XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X=x)=c⋅(4−∣x∣),x∈{−2,−1,0,1,2,3}P(X = x) = c \cdot (4 - |x|), \quad x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Seradaki bitkilerin maruz kaldığı termal stres endeksi (YY), Y=(X−1)2Y = (X - 1)^2 dönüşümü ile hesaplanmaktadır.

Buna göre, termal stres endeksinin 1'den büyük olma olasılığı, yani P(Y>1)P(Y > 1) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    115\frac{1}{15}
  2. B
    415\frac{4}{15}
  3. C
    13\frac{1}{3}
  4. 25\frac{2}{5}Answer
  5. E
    35\frac{3}{5}

Answer

Termal stres endeksinin 1'den büyük olma olasılığı 2/5'tir.
Soruda öncelikle olasılıkların toplamı 1'e eşitlenerek c=115c = \frac{1}{15} sabiti bulunur. Daha sonra Y=(X−1)2Y = (X - 1)^2 dönüşümünde Y>1Y > 1 şartını sağlayan XX değerleri araştırılır. (X−1)2>1(X - 1)^2 > 1 eşitsizliği mutlak değerce ∣X−1∣>1|X - 1| > 1 anlamına gelir, bu da X>2X > 2 veya X<0X < 0 demektir. XX'in tanım kümesinde {−2,−1,0,1,2,3}\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\} bu şarta uyan değerler X=−2X = -2, X=−1X = -1 ve X=3X = 3'tür. Bu değerlerin olasılıkları toplamı: P(−2)+P(−1)+P(3)=215+315+115=615=25P(-2) + P(-1) + P(3) = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5} olarak doğru sonuca ulaşılır.

Step-by-Step Solution

1
XX'in tüm olasılıklarının toplamını 1'e eşitleyerek cc sabitini bulmak.
∑P(X=x)=c(2+3+4+3+2+1)=15c=1  ⟹  c=115\sum P(X=x) = c(2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15c = 1 \implies c = \frac{1}{15}
Bir olasılık kütle fonksiyonunun tüm tanım kümesindeki değerlerinin toplamı daima 1 olmalıdır.
2
Y=(X−1)2>1Y = (X - 1)^2 > 1 eşitsizliğini sağlayan XX değerlerini belirlemek.
(X−1)2>1  ⟹  ∣X−1∣>1(X - 1)^2 > 1 \implies |X - 1| > 1. Buradan X−1>1X - 1 > 1 veya X−1<−1X - 1 < -1 elde edilir. Şartı sağlayan değerler X>2X > 2 veya X<0X < 0'dır. Tanım kümesindeki uygun değerler: X∈{−2,−1,3}X \in \{-2, -1, 3\}
Dönüşüm sonrasındaki olayın olasılığını bulmak için, YY'nin istenen şartını sağlayan orijinal XX değerlerinin tespit edilmesi gerekir.
3
Belirlenen XX değerlerinin olasılıklarını toplamak.
P(Y>1)=P(X=−2)+P(X=−1)+P(X=3)=215+315+115=615=25P(Y > 1) = P(X = -2) + P(X = -1) + P(X = 3) = \frac{2}{15} + \frac{3}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}
Kesikli rastgele değişkenlerde, bir olayın olasılığı o olayı oluşturan ayrık noktaların olasılıklarının toplamına eşittir.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler
Rate this question

Topics

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler