Çok değişkenli istatistiksel analizlerde dönüştürme ve izdüşüm işlemleri matris cebiri kur… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde dönüştürme ve izdüşüm işlemleri matris cebiri kurallarına dayanır. $\mathbf{P}$ , $n \times n$ boyutlu bir ortogonal matris ve $\mathbf{M}$ , rankı $r$ ( $0 < r < n$ ) olan $n \times n$ boyutlu simetrik ve idempotent bir matris olsun.

\mathbf{H} = \mathbf{P} \mathbf{M} \mathbf{P}^T

eşitliği ile tanımlanan

\mathbf{H}

matrisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

A
$|\mathbf{H}| = |\mathbf{P}|$
B
$\mathbf{H} \mathbf{P} = \mathbf{M} \mathbf{P}$
C
$\mathbf{H}^T \mathbf{H} = \mathbf{I}$
D
$rank(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{P})$
$tr(\mathbf{H}) = rank(\mathbf{M})$ Answer

Answer

tr(\mathbf{H}) = rank(\mathbf{M})

eşitliği her zaman doğrudur.

Verilen eşitlikte iki tarafın da izini (trace) aldığımızda, iz operatörünün döngüsel özelliği gereği matrislerin sırası değiştirilebilir.

\mathbf{P}

ortogonal olduğu için

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

elde edilir. Böylece

\mathbf{H}

matrisinin izi

\mathbf{M}

matrisinin izine eşit olur.

\mathbf{M}

matrisi idempotent bir projeksiyon matrisi olduğundan, izi her zaman rankına eşittir. Dolayısıyla ifade matematiksel olarak kesinlikle doğrudur.

Step-by-Step Solution

Matrislerin temel özelliklerini belirleme

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

\mathbf{M}^2 = \mathbf{M}

\mathbf{M}^T = \mathbf{M}

tr(\mathbf{M}) = rank(\mathbf{M})

eşitlikleri yazılır.

\mathbf{P}

'nin ortogonal,

\mathbf{M}

'nin simetrik ve idempotent bir projeksiyon matrisi olmasından dolayı.

İz operatörünün döngüsel (cyclic) özelliğini uygulama

tr(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{P} \mathbf{M} \mathbf{P}^T) = tr(\mathbf{P}^T \mathbf{P} \mathbf{M})

şeklinde yeniden yazılır.

tr(\mathbf{A} \mathbf{B} \mathbf{C}) = tr(\mathbf{C} \mathbf{A} \mathbf{B})

kuralı matris çarpımının izi için geçerlidir.

İz eşitliğini sadeleştirme

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

olduğundan, denklem

tr(\mathbf{I} \mathbf{M}) = tr(\mathbf{M})

haline gelir.

Ortogonal matrislerin tersi transpozuna eşittir.

İz ve rank ilişkisini kurma

tr(\mathbf{H}) = tr(\mathbf{M}) = rank(\mathbf{M})

sonucuna ulaşılır.

İdempotent matrislerde iz değeri daima matrisin rankına eşittir.

Key Concept

İdempotent ve Ortogonal Matrislerin İz ve Rank Özellikleri

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic