Bir sağlık ekonomisti, hastanelerin yıllık işletme maliyetlerini (Y_i); yatak kapasitesi (… — KPSS İstatistik

Bir sağlık ekonomisti, hastanelerin yıllık işletme maliyetlerini ( $Y_i$ ); yatak kapasitesi ( $X_{1i}$ ) ve ayakta tedavi gören hasta sayısı ( $X_{2i}$ ) ile açıklayan aşağıdaki doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Yapılan kalıntı (artık) analizi ve White testi sonucunda, hata terimlerinin varyansının, yatak kapasitesinin karesiyle orantılı olarak değiştiği ( $Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2$ ) tespit edilmiştir.

Buna göre, karşılaşılan değişen varyans (heteroskedastisite) sorununu gidermek ve tahmin edicilerin yeniden minimum varyanslı (etkin) olmasını sağlamak amacıyla uygulanması gereken en uygun yönteme ve sorunun niteliğine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Modeldeki tüm terimler (sabit terim de dâhil olmak üzere) $X_{1i}$ bağımsız değişkenine bölünerek dönüştürülmeli ve elde edilen eş varyanslı yeni model üzerinden Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) tahmini yapılmalıdır.Answer
B
Sorunun varlığını doğrulamak için Durbin-Watson $d$ istatistiği kullanılmalı ve tespit edildikten sonra değişkenlerin birinci farkları alınarak model yeniden tahmin edilmelidir.
C
Değişen varyans altında En Küçük Kareler tahmin edicileri sapmasızlık ve en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini korumaya devam ettiği için, modele matematiksel bir dönüştürme uygulanmasına gerek yoktur.
D
Değişen varyans problemi tahmin edicilerin sapmalı hâle gelmesine yol açtığı için, Varyans Şişme Faktörü (VIF) değerine bakılarak soruna neden olan $X_{1i}$ değişkeni modelden çıkarılmalıdır.
E
Sorunun kaynağı olan $X_{1i}$ değişkeni modelden tamamen dışlanmalı, böylece En Küçük Kareler tahmin edicileri etkinliğini kaybetse bile sapmasız olma özelliğini yeniden kazanmalıdır.

Answer

Modeldeki tüm terimlerin

X_{1i}

bağımsız değişkenine bölünmesiyle oluşturulan Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) tahmini, eş varyanslılık varsayımını sağlayarak en uygun çözümü sunar.

Verilen modelde hata teriminin varyansı

X_{1i}^2

ile orantılıdır. Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK/WLS) yöntemi gereğince, sorunu ortadan kaldırmak için eşitliğin her iki tarafı ağırlıklandırma faktörü olan

X_{1i}

'ye (kareköküne) bölünmelidir. Bu sayede

\frac{u_i}{X_{1i}}

olan yeni hata teriminin varyansı

Var(\frac{u_i}{X_{1i}}) = \frac{1}{X_{1i}^2} Var(u_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2

olarak sabitlenir (eş varyanslı olur) ve tahmin ediciler etkinliğini geri kazanır.

Step-by-Step Solution

Hata varyansının yapısal formunun analiz edilmesi

Soruda hata varyansının

Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2

şeklinde olduğu tespit edilmiştir.

Uygulanacak Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK/WLS) dönüştürme faktörünü belirlemek için varyansın fonksiyonel formu bilinmelidir.

Uygun dönüştürme (ağırlıklandırma) faktörünün bulunması

Dönüştürme işleminde modelin her iki tarafı, değişen varyans ifadesinin kareköküne, yani

\sqrt{X_{1i}^2} = X_{1i}

'ye bölünmelidir.

Orijinal regresyon modeli

X_{1i}

'ye bölündüğünde, yeni hata terimi

\nu_i = \frac{u_i}{X_{1i}}

olur ve bu terimin varyansı

Var(\nu_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} Var(u_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2

olarak sabitlenir.

Elde edilen yeni modelin değerlendirilmesi

Yeni model:

\frac{Y_i}{X_{1i}} = \frac{\beta_0}{X_{1i}} + \beta_1 + \beta_2 \frac{X_{2i}}{X_{1i}} + \frac{u_i}{X_{1i}}

biçimine dönüşür ve En Küçük Kareler yöntemiyle eş varyanslı olarak tahmin edilebilir.

Eş varyanslılık sağlandığı için EKK (Gauss-Markov) varsayımları yeniden geçerli hâle gelir ve tahmin ediciler tekrar minimum varyanslı (etkin) olur.

Key Concept

Değişen Varyans Durumunda Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) Dönüştürmesi

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics