Bir lojistik firmasının dağıtım merkezine ulaşan günlük teslimat gecikmeleri X (gün) kesik… — KPSS İstatistik

Bir lojistik firmasının dağıtım merkezine ulaşan günlük teslimat gecikmeleri $X$ (gün) kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. $X$ değişkeninin değer kümesi $\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$ olup, negatif değerler hedeflenen süreden erken teslimatı, pozitif değerler ise gecikmeyi ifade etmektedir. Bu dağılımın olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X = x) = \frac{x^2 + 1}{35}, \quad x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

Lojistik firmasının bu teslimat farklılıklarından (erken veya geç) doğan günlük cezai operasyon maliyeti $Y = (X-1)^2$ denklemi ile hesaplanmaktadır.

Rastgele seçilen bir günde cezai maliyetin $9$ birimi aşmadığı bilindiğine göre, bu maliyetin $4$ birim veya daha fazla olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{12}{25}$
B
$\frac{3}{5}$
C
$\frac{17}{27}$
$\frac{17}{25}$ Answer
E
$\frac{27}{35}$

Answer

Cezai maliyetin 4 birim veya daha fazla olma olasılığı 17/25'tir.

Y = (X-1)^2

dönüşümü uygulandığında

Y

'nin alabileceği değerler sırasıyla

16, 9, 4, 1, 0, 1

4

olur. Çakışan değerler için olasılıklar toplandığında

P(Y=4) = P(X=-1) + P(X=3) = \frac{2}{35} + \frac{10}{35} = \frac{12}{35}

bulunur. Benzer şekilde tüm PMF elde edilir. İstenen durum,

Y \leq 9

bilindiğinde

Y \geq 4

olmasıdır. Bu koşullu olasılıktır ve formülü

P(Y \geq 4 \mid Y \leq 9) = \frac{P(4 \leq Y \leq 9)}{P(Y \leq 9)}

şeklindedir. Payda,

P(Y \leq 9) = P(Y=0)+P(Y=1)+P(Y=4)+P(Y=9) = \frac{25}{35}

'tir. Pay ise

P(4 \leq Y \leq 9) = P(Y=4)+P(Y=9) = \frac{17}{35}

'tir. Bu iki değer bölündüğünde sonuç

\frac{17}{25}

olarak bulunur.

Step-by-Step Solution

X

rastgele değişkeninin alabileceği her bir değer için

Y = (X-1)^2

dönüşümünü uygula ve

Y

'nin değer kümesini belirle.

X

değerleri

\{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}

için

Y

sırasıyla

\{16, 9, 4, 1, 0, 1, 4\}

değerlerini alır.

Y

'nin değer kümesi

\{0, 1, 4, 9, 16\}

olur.

Yeni rastgele değişkenin olasılık dağılımını bulabilmek için alabileceği tüm olası değerleri saptamak gereklidir.

Aynı

Y

değerini veren

X

olasılıklarını toplayarak

Y

'nin olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) oluştur.

P(Y=0) = P(X=1) = \frac{2}{35}

P(Y=1) = P(X=0)+P(X=2) = \frac{6}{35}

P(Y=4) = P(X=-1)+P(X=3) = \frac{12}{35}

P(Y=9) = P(X=-2) = \frac{5}{35}

P(Y=16) = P(X=-3) = \frac{10}{35}

Bire-bir olmayan dönüşümlerde (kare alma vb.) farklı

X

değerleri aynı

Y

değerine dönüşebilir. Toplam olasılık 1 olacak şekilde bu olasılıklar birleştirilmelidir.

Y \leq 9

koşulunun sağlandığı durumların olasılıkları toplamını (

P(Y \leq 9)

) hesapla.

P(Y \leq 9) = P(Y \in \{0, 1, 4, 9\}) = \frac{2}{35} + \frac{6}{35} + \frac{12}{35} + \frac{5}{35} = \frac{25}{35}

Soruda verilen 'maliyetin 9 birimi aşmadığı bilindiğine göre' ifadesi koşullu olasılığın paydasını oluşturur.

Hem

Y \leq 9

koşulunu sağlayan hem de istenen

Y \geq 4

koşulunu sağlayan kesişim durumlarının olasılıkları toplamını (

P(4 \leq Y \leq 9)

) bul.

Kesişim durumu

Y \in \{4, 9\}

kümesidir.

P(Y=4) + P(Y=9) = \frac{12}{35} + \frac{5}{35} = \frac{17}{35}

Koşullu olasılık formülünün pay kısmını hesaplamak için, gerçekleştiği bilinen olayın alt uzayındaki istenen çıktıların olasılığı bulunmalıdır.

Koşullu olasılık formülünü (

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

) uygulayarak nihai sonucu hesapla.

P(Y \geq 4 \mid Y \leq 9) = \frac{17/35}{25/35} = \frac{17}{25}

Kısıtlanmış yeni örnek uzayda, istenen olayın gerçekleşme oranı nihai koşullu olasılığı verir.

Key Concept

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşüm ve Koşullu Olasılık

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics