Bir üretim sürecinde, bir ürünün yalnızca montaj hattında geçen süresi X (saat) ve ürünün … — KPSS İstatistik

Bir üretim sürecinde, bir ürünün yalnızca montaj hattında geçen süresi $X$ (saat) ve ürünün paketleme dâhil tüm işlemlerinin tamamlanması için geçen toplam süre $Y$ (saat) sürekli rastgele değişkenleri ile modellenmektedir. İşlem akışı gereği toplam sürenin, montaj süresinden daha az olamayacağı ( $0 \le X \le Y$ ) bilinmektedir.

$X$ ve $Y$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

f(x, y) = \begin{cases} c \cdot x \cdot y & 0 \leq x \leq y \leq 2 \\ 0 & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, rastgele seçilen bir ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı kaçtır?

A
$\frac{1}{32}$
$\frac{1}{16}$ Answer
C
$\frac{1}{8}$
D
$\frac{7}{16}$
E
$\frac{1}{2}$

Answer

Rastgele seçilen bir ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı

\frac{1}{16}

'dır.

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tüm tanımlı bölge üzerinden integrali 1 olmalıdır. Verilen bölge

0 \le x \le y \le 2

olduğu için,

x

değişkeninin alt sınırı

0

, üst sınırı ise

y

olacak;

y

'nin de alt sınırı

0

, üst sınırı

2

olacak şekilde çift katlı integral kurulur.

1 = \int_0^2 \int_0^y c \cdot x \cdot y \, dx \, dy = \int_0^2 c \cdot y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \, dy = \int_0^2 \frac{c}{2} y^3 \, dy = \frac{c}{2} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^2 = 2c \implies c = \frac{1}{2}

Ürünün toplam işlem süresinin 1 saatten az olma olasılığı, yani

P(Y \le 1)

hesaplanırken, genel tanım kümesi olan

0 \le x \le y

koşulu ile

Y \le 1

birleştirildiğinde entegre edilecek bölge

0 \le x \le y \le 1

haline gelir.

P(Y \le 1) = \int_0^1 \int_0^y \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \, dx \, dy

Öncelikle içteki integrali çözersek:

\int_0^y \frac{1}{2} \cdot x \cdot y \, dx = \frac{1}{2} y \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y = \frac{1}{4} y^3

Bulunan bu sonucu dıştaki y integraline uygularsak:

\int_0^1 \frac{1}{4} y^3 \, dy = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{16}

değeri elde edilir.

Step-by-Step Solution

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun özelliğini kullanarak bilinmeyen

c

sabitini hesaplamak.

c = \frac{1}{2}

bulunur.

Tüm uzay üzerindeki toplam olasılığın 1'e eşit olması gerektiğinden,

\int \int f(x,y) dx dy = 1

eşitliği çözülmelidir. Verilen

0 \le x \le y \le 2

kısıtıyla doğru sınırlar belirlenir.

İstenen olasılık durumu olan

P(Y \le 1)

için çift katlı integralin sınırlarını tespit etmek.

İntegral sınırları;

x

için

0

'dan

y

'ye,

y

için ise

0

'dan

1

'e olarak ayarlanır.

Genel tanım aralığı ile

Y \le 1

koşulu kesiştirildiğinde, geçerli yeni bölge

0 \le x \le y \le 1

üçgensel bölgesi olur.

Tespit edilen sınırlar üzerinden çift katlı integrali alarak toplam olasılık değerini hesaplamak.

İntegral işlemleri sonucunda olasılık

\frac{1}{16}

çıkar.

Oluşturulan

\int_0^1 \int_0^y \frac{1}{2} x y \, dx \, dy

integrali adım adım integre edilir.

Key Concept

İki sürekli rastgele değişkenin ortak olasılık dağılımında, değişkenler birbirine bağımlı eşitsizlik sınırları içerdiğinde doğru bölge çiziminin yapılması ve sınırların çift katlı integrallerde doğru kurgulanması.

Estimated Time:3m 0s

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics