Çok değişkenli istatistiksel analizlerde karesel formların yapısını inceleyen bir araştırm… — KPSS İstatistik

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde karesel formların yapısını inceleyen bir araştırmacı, $3 \times 3$ boyutlu simetrik bir $\mathbf{A}$ matrisinin izini (trace) $6$ , determinantını ise $-8$ olarak hesaplamıştır. Bu matrisin özdeğerlerinden birinin $4$ olduğu bilinmektedir.

Araştırmacı, $\mathbf{A}$ matrisini kullanarak $\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A}$ dönüşümü ile yeni bir $\mathbf{B}$ matrisi elde etmiştir.

Buna göre, $\mathbf{A}$ ve $\mathbf{B}$ matrislerinin tanımlılık durumları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

A
\mathbf{A} matrisi pozitif tanımlı, \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdır
B
\mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi belirsizdir
\mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdırAnswer
D
\mathbf{A} matrisi negatif tanımlı, \mathbf{B} matrisi belirsizdir
E
\mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi negatif yarı-tanımlıdır

Answer

\mathbf{A} matrisinin özdeğerleri hem pozitif hem negatif değerler içerdiğinden belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisinin tüm özdeğerleri pozitif olarak hesaplandığından pozitif tanımlıdır.

\mathbf{A} matrisinin özdeğerleri

4

1+\sqrt{3}

1-\sqrt{3}

olarak bulunur. İçinde hem pozitif hem de negatif özdeğer barındırdığı için

\mathbf{A}

belirsizdir (indefinite).

\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A}

dönüşümü sonrasında

\mathbf{B}

'nin özdeğerleri sırasıyla

8

2

2

olur. Tüm özdeğerler sıfırdan büyük olduğu için

\mathbf{B}

matrisi pozitif tanımlıdır.

Step-by-Step Solution

\mathbf{A} matrisinin eksik özdeğerlerini belirlemek için iz ve determinant özelliklerini kullanma.

\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 \implies 4 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 \implies \lambda_2 + \lambda_3 = 2.
\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = -8 \implies 4 \lambda_2 \lambda_3 = -8 \implies \lambda_2 \lambda_3 = -2.

Bir matrisin izi özdeğerlerinin toplamına, determinantı ise özdeğerlerinin çarpımına eşittir.

Elde edilen denklemlerden \lambda_2 ve \lambda_3 değerlerini bularak \mathbf{A} matrisinin tanımlılığını belirleme.

Kökleri toplamı 2, çarpımı -2 olan ikinci derece denklem x^2 - 2x - 2 = 0'dır. Kökler \lambda_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3} olarak bulunur. Özdeğerler kümesi \{4, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}\} olup, (1-\sqrt{3}) negatif bir değerdir. Hem pozitif hem negatif özdeğer olduğu için \mathbf{A} matrisi belirsizdir (indefinite).

Tanımlılık durumu tüm özdeğerlerin işaretine bağlıdır.

\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A} matrisinin özdeğerlerini (\mu_i) hesaplama.

\mu_1 = 4^2 - 2(4) = 8.
\mu_2 = (1+\sqrt{3})^2 - 2(1+\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 - 2\sqrt{3} = 2.
\mu_3 = (1-\sqrt{3})^2 - 2(1-\sqrt{3}) = 1 - 2\sqrt{3} + 3 - 2 + 2\sqrt{3} = 2.

Bir \mathbf{A} matrisinin özdeğeri \lambda ise, P(\mathbf{A}) polinom matrisinin özdeğeri P(\lambda) olur.

\mathbf{B} matrisinin tanımlılık durumunu belirleme.

Tüm \mu_i özdeğerleri (8, 2, 2) sıfırdan büyük olduğu için \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdır.

Bir matrisin tüm özdeğerleri pozitif ise o matris pozitif tanımlıdır.

Key Concept

Bir matrisin özdeğerlerinin polinom dönüşümleri altındaki davranışları ve özdeğer işaretlerinin tanımlılık durumunu belirlemedeki rolü.

Question

Answer

Step-by-Step Solution

Key Concept

Common Mistakes

Topics

More questions from this topic